Hm aus der Definition des Quadrupolmoments
ergibt sich, dass die Elemente von q die Dimension [\varrho] * [r^2] * [r^3] = [Q] [r^2] haben müssen … folglich muss mein Ergebnis falsch sein. 
also ich bekomme jetzt:
q_{11}=-\frac{Qa^{2 }\pi}{\sqrt{2}}
q_{1-1}=\frac{Qa^{2 }\pi}{\sqrt{2}}
q_{22}=i\sqrt{\frac{3}{8}}Qa^{3}\pi
q_{2-2}=-i\sqrt{\frac{3}{8}}Qa^{3}\pi
und der rest =0
Nur dann würden sich alle Terme beim summieren zu 0 addieren, fürs Potential, aber das kanns irgendwie nicht sein.
edit: ah nein doch nicht weil es wird ja noch mit den jeweiligen Flächenfunktionen multipliziert… das wird ne arbeit… -.-
OK ein letztes mal noch zum 3er:
Da die Ergebnisse mit Kugelflächenfunktionen nicht gerade… angenehm sind hab ichs nochmal mit der normalen Multipolentwicklung (dipol, quadropol,…) gerechnet, transformiert in Zylinderkoordinaten.
Ergebnisse:
\vec{p}=\begin{pmatrix}
\pi Qa\
0\
0\
\end{pmatrix}
Q^{ij}=\frac{\pi }{2}Qa^{2}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\
1 & 0 & 0\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\Phi(r,\varphi ) =\frac{1}{4\pi \varepsilon }\left [\frac{Qa\pi }{r^{2}}cos\varphi +\frac{\pi a^{2}Q}{2r^{3}}sin\varphi cos\varphi +… \right ]
Zitat:
3: Alle sphärischen Multipolmoment bis auf l=1, m=+/1 Null
q_{11} = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}} Q\pi a
\phi(\vec r) = \frac{Qa}{2\epsilon_0 r^2} \sin\theta \cos\phi
(Hier SI-System)
meine ergebnisse
für q1m hab ich :
q_{11} = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}} Q\pi^2 a^2
bzw
q_{1-1} = \sqrt{\frac{3}{8\pi}} Q\pi^2 a^2
a^2 wegen r^l aus der formel für q_{lm}
So, spät (bzw. früh) aber doch…
Erstens, es kann nicht sein, dass das Dipolmoment \sim Q,a^2, allein schon von der Einheit muss es [p^i]=C\cdot m also \sim Q,a sein.
Was glaube ich dieses Problem verursacht ist die Linienladungsdichte in Volumensladungsdichte umzuwandeln.
In Zylinderkoord. ist sie nämlich: \varrho(r,\phi,z)=\tau(\phi) \delta(r-a) \delta(z).
In Kugelkoord ist sie aber wohl nicht \varrho(r,\phi,\theta)=\tau(\phi) \delta(r-a) \delta(\theta -\frac{\pi}{2}) sondern eher etwas wie \varrho(r,\phi,\theta)=\tau(\phi) \delta(r-a) \delta(r\cdot cos(\theta)), was mit\delta(r-a)\delta(r\cdot cos(\theta)) = \delta(r-a)\delta(a\cdot cos(\theta)) =\delta(r-a) \frac{\delta(cos(\theta))}{|a|} ergibt. Wieso das jetzt wirklich so funktioniert weiß ich nicht, aber dadurch würde sich dann das überschüssige a herauskürzen
Zweitens ich komme auch auf etwas ähnliches wie Lelouch, wenn ich in karth. Koord. rechne, nämlich:
Q=0\
p^i=\begin{pmatrix}
Q\cdot a \cdot \pi\
0\
0
\end{pmatrix} \
Q^{ij}=\frac{3\cdot Q \cdot a^2 \cdot \pi}{2}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
Und deswegen muss es sehr wohl ein Quadrupolmoment geben, was ich auch in Kugelkoord. erhalte:
q_{22}^*=-i\sqrt{\frac{15}{32\pi}}Q\cdot a^2 \pi.
Mit der Formel aus dem Nowotny Skript:
q_{22}^*=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{15}{32\pi}}[ Q_{xx} - Q_{yy} -2i Q_{xy}]
kommt man ebenfalls wieder auf obiges Q_{12} in karth. Koord.
Ähm wie kommst du auf \delta (r*cos\theta )? Der Ausdruck ergibt für mich gerade nicht wirklich Sinn, weil dann müsste entweder r=0 oder theta=pi oder =0 sein, was die ingetration der Ladung allerdings nicht auf den Ring einschränken würde (welcher im Ursprung, also quasi bei pi/2, liegt) sondern auf die Polkappen.
Edit:
hab grad nochmal nachgeschaut, und gesehen dass ich vergessen hab nach dem Integral auswerten den 3er wieder vorne dran zu schreiben. Beim Quadropol hab ich also auch ein mal 3 vorne dabei.
Ja das stimmt (bis auf den cosinus, der ist ja gerade für \theta=\frac{\pi}{2} gleich 0), ich habe auch nicht in Polarkoord. sondern in Zylinderkoord. gerechnet wo es dieses Problem nicht gibt, insofern ist mein Argument wohl einfach falsch …