So, ich hab jetzt einmal einen Entwurf zu 1b, der aber noch verbessert gehört:
H = \frac{\hbar \omega}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}
\rho (t) = \begin{pmatrix} a & b \ b^* & c \end{pmatrix} (Ansatz)
i \hbar \dot \rho (t) = [H, \rho (t)]
i \hbar \begin{pmatrix} \dot a & \dot b \ \dot b^* & \dot c \end{pmatrix} = \tex{\frac{\hbar \omega}{2} \begin{pmatrix} b^* - b & c - a \ a - c & b - b^* \end{pmatrix}
I: \dot a = \frac{-i \omega}{2} (b^* - b)
II: \dot b = \frac{-i \omega}{2} (c - a)
III: \dot b^* = \frac{-i \omega}{2} (a - c)
IV: \dot c = \frac{-i \omega}{2} (b - b^*)
Ab hier bin ich mir unsicher, wahrscheinlich könnte man die Differentialgleichungen besser lösen:
III - II: \dot b^* - \dot b = i \omega (c - a)
IV - I: \dot c - \dot a = i \omega (b^* - b)
Abkürzung: x := b - b^* und y := a - c
\dot x = i \omega y
\dot y = i \omega x
→ \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = i \omega \frac{\partial y}{\partial t} = - \omega^2 x
\color{red} x = A \cdot e^{-i \omega t} + B \cdot e^{i \omega t}
Analog: \color{red} y = C \cdot e^{-i \omega t} + D \cdot e^{i \omega t}
Einsetzen in die vier Differentialgleichungen:
\color{red} \dot a = \frac{i \omega}{2} (A \cdot e^{-i \omega t} + B \cdot e^{i \omega t})
\color{red} \dot b = \frac{i \omega}{2} (C \cdot e^{-i \omega t} + D \cdot e^{i \omega t})
\color{red} \dot b^* = -\frac{i \omega}{2} (C \cdot e^{-i \omega t} + D \cdot e^{i \omega t})
\color{red} \dot c = -\frac{i \omega}{2} (A \cdot e^{-i \omega t} + B \cdot e^{i \omega t})
Fortsetzung folgt …