1. Tutorium am 14. März 2008

Weils so leicht war, 1a:

\rho (0) = \frac{1}{5}\cdot \frac{3}{4} \begin{pmatrix} 4 & -2i \ 2i & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 2i \ -2i & 4 \end{pmatrix} =
= \frac{1}{20} \begin{pmatrix} 13 & -4i \ 4i & 7 \end{pmatrix}

Hat jemand eine Idee zu 1b?
Die Gleichung 3.140 schaut ein bißchen aufwendig aus, oder kann ich einfach den normalen Zeitentwicklungsansatz nehmen, den wir in QT I genommen haben?

So, ich hab jetzt einmal einen Entwurf zu 1b, der aber noch verbessert gehört:

H = \frac{\hbar \omega}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}

\rho (t) = \begin{pmatrix} a & b \ b^* & c \end{pmatrix} (Ansatz)

i \hbar \dot \rho (t) = [H, \rho (t)]

i \hbar \begin{pmatrix} \dot a & \dot b \ \dot b^* & \dot c \end{pmatrix} = \tex{\frac{\hbar \omega}{2} \begin{pmatrix} b^* - b & c - a \ a - c & b - b^* \end{pmatrix}

I: \dot a = \frac{-i \omega}{2} (b^* - b)

II: \dot b = \frac{-i \omega}{2} (c - a)

III: \dot b^* = \frac{-i \omega}{2} (a - c)

IV: \dot c = \frac{-i \omega}{2} (b - b^*)

Ab hier bin ich mir unsicher, wahrscheinlich könnte man die Differentialgleichungen besser lösen:

III - II: \dot b^* - \dot b = i \omega (c - a)

IV - I: \dot c - \dot a = i \omega (b^* - b)

Abkürzung: x := b - b^* und y := a - c

\dot x = i \omega y

\dot y = i \omega x

→ \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = i \omega \frac{\partial y}{\partial t} = - \omega^2 x

\color{red} x = A \cdot e^{-i \omega t} + B \cdot e^{i \omega t}

Analog: \color{red} y = C \cdot e^{-i \omega t} + D \cdot e^{i \omega t}

Einsetzen in die vier Differentialgleichungen:

\color{red} \dot a = \frac{i \omega}{2} (A \cdot e^{-i \omega t} + B \cdot e^{i \omega t})

\color{red} \dot b = \frac{i \omega}{2} (C \cdot e^{-i \omega t} + D \cdot e^{i \omega t})

\color{red} \dot b^* = -\frac{i \omega}{2} (C \cdot e^{-i \omega t} + D \cdot e^{i \omega t})

\color{red} \dot c = -\frac{i \omega}{2} (A \cdot e^{-i \omega t} + B \cdot e^{i \omega t})

Fortsetzung folgt …

Bekomme andere Ergebnisse.

a(t) = 13/20 cos(wt) + 4/20 sin(wt)
b(t) = i(-4/20 cos(wt) + 3/20 sin (wt))
c(t) = 7/20 cos(wt) - 4/20 sin(wt)

Begründung folgt sobald ich es schaffe den Scanner anzuschließen, etc.

Wobei ich die Möglichkeit von Rechenfehlern gern eingestehe.

Lg, G

Weis jemand, wie genau dieser Vierervektor in Paulidarstellung zu verstehen ist?

Was meinst du mit verstehen?
Es ist ein 4er-Vektor. Wir haben 4er-Operatoren definiert die wir darauf anwenden können.
Es handelt sich dabei um einen SpinUp-Vektor in z-Richtung (Eigenvektor des entsprechenden Operators). In der nichtrelativistischen Näherung haben wir diesen Vektor auch als den mit positiver Energie aufgefasst. Für a) müssen wir, fürchte ich, relativistisch rechnen. Das führt unter anderem auf „Suche Eigenvektoren des Hamiltonians“ - hab ich Mathematica rechnen lassen.

Cg

Ich mag mich irren, aber ich kenne keine auch keine Paulidarstellung für Dirac-Spinoren. Sie werden wohl die Dirac-Darstellung meinen?

Meine Ergebinsse zu 1.b. schauen noch komplizierter aus als Gregors, aber ich hab eigentlich recht straight forward gerechnet. Mein Lsg. schaun so aus:

a(t)=\left (\frac{5}{2}-2i\right)e^{i\omega t}+\left( \frac 5 2 +2i\right )e^{-i\omega t} +\frac{27}{2}
d(t)=-\left (\frac{5}{2}-2i\right)e^{i\omega t}-\left( \frac 5 2 +2i\right )e^{-i\omega t} +\frac{17}{2}
b(t)=\left (\frac{5}{2}-2i\right)e^{i\omega t}-\left( \frac 5 2 +2i\right )e^{-i\omega t} +\frac{i\omega}{2}5t-4i

Was gleich mit dem Gregor ist, dass a und d rein reell und b rein komplex ist. Aber das mit dem 2i, das bei mir in der Klammer steht ist komisch. Prinzipiell gefällt mir Gregors Lsg. besser.

Ad Bsp 2.
Ich hätte auch gedacht, dass das ein Teilchen mit spin up ist (1 in obererm Wert des oberen 2er Spinors), aber dann würde die Frage a wohl wenig Sinn machen. Um die Energie zu berechen, könnte man psi vielleicht einfach in die Diracgleichung werfen und E berechen. [/tex]

Kann jemand von euch beiden den Rechenweg reinstelln?
Würd mich interessieren …

Es würd auch reichen zu schrieben, was an meinem falsch is.

->ibi
Du vergisst dass auch k2*exp(-i k x) eine Lösung deiner DGL ist.

→ Luchs
Hmmm… Rein aus Trägheit hoffe ich dass meine Lsg. stimmen. Aber wir können morgen einmal drüber reden.

Muss bald weg, aber am Abend scanne ich dann meinen Ansatz ein.

Cg

Stimmt, alles klar!

Ups, jetzt war das Löschen schneller als ich beim Antworten. :slight_smile:

Ich würde mal frohgemut behaupten, keine der bisher geposteten Lösungen stimmt… Die von Gregor und ibi verletzen an 0 die Bewegungsgleichung, und die von Luchs die Randbedingungen.

h-quer=1? (-;

Und mein Scanner mag mich nicht.

Cg

Wo verletze ich die RB? a(0)=13/20, d(0)=7/20 c(0)=-4i. Wenn das schon nicht stimmt, verletze ich mit Garantie die RBs, weil dann sind meine falsch.
Ad Thomas: Kannst du bitte G&G Vo-Mitschrift vom 30.1. oder was das war online stellen (bitte als Pdf, ich kanns sonst nicht lesen)

Da schon so viele lösungen da sind, poste ich meine auch noch, vielleicht kommt ja wer auf das gleiche :slight_smile:

a(t)=\frac{1}{5}sin( \omega t)+ \frac{3}{20}cos(\omega t)+\frac{1}{2}
b(t)=i(-\frac{1}{5}cos( \omega t)+ \frac{3}{20}sin(\omega t))
c(t)=-\frac{1}{5}sin( \omega t)- \frac{3}{20}cos(\omega t)+\frac{1}{2}

meine RB und DG sind gleich wie oben angegeben.

Gibt a(0)=37/2.

@Carlos: Die glaube ich jetzt.

Allerdings: Wollen die wirklich den Rechenweg mit dem Differentialgleichungssystem haben? Was soll dann der Hinweis? Ich denke, das geht auch schöner.

Wahrscheinlich, denn das DG-System ist echt übel.

Was macht man mit dem Zeug eigentlich bzw. wie schaut die Formel für die Wahrscheinlichkeit aus?

Tja, da hat Thomas wohl recht.

Es sollte da 23/2 stehen, war nur ein Tippfehler. Dann passt es wieder, (a, b und d müssen noch mit 1/20 skaliert werden., hab ich vergessen zu erwähnen)

Der Hinweis ist der Ansatz, mit dem man auf die Diffgleichungen kommt.