Die ersten Angaben sind online.
Nachdem ich mein Kastl neu aufgesetzt und mich durch seine Folien gewühlt habe, werd ich es mal in Angriff nehmen.
stat1_080314_ue1.pdf (37.3 KB)
Fein, Du beschäftigst dich mit Statistik, ich mit Quanten. 
(Aufsetzen muß ich auch gerade. schauder)
War irgendwer im Plenum? War das brauchbar?
Tut mir leid, kann ich nicht sagen. Hab ihn von hinten einfach nicht verstanden und konnte nicht einmal die Folien lesen (meine Augen sind halt auch nicht mehr die besten).
Ja, ich beschäftige mich dieses Semester mit Statistik 
Kastl fertig aufgesetzt.
Jetziger Stand:
1: WTF?
2: Hab ich, stell ich gleich rein.
3: Steht im Burgdörfer-Skript (Kapitel 3.1.2. [Auflage April 2006])
Kastl auch fertig aufgesetzt. Billy wurde durch einen Pinguin verjagt.
Beispiel 2a)
Gleichung aus Angabe: dE = TdS - PdV + \mu dN
Aus TdS = \delta Q und N = const folgt:
\delta Q = dE + PdV
PV = NkT und E = \frac{3}{2} NkT → E = \frac{3}{2} PV
Schritt i) Druckerhöhung von P_1 auf P_2 bei konstantem Volumen V_1.
PdV = 0 (konstantes Volumen)
\delta Q_i = dE = \frac{3}{2} V_1 dP
Q_i = \int_{P_1}^{P_2} \frac{3}{2} V_1 dP = \frac{3}{2} V_1 (P_2 - P_1)
Schritt ii) Volumserhöhung von V_1 auf V_2 bei konstantem Druck P_2.
\delta Q_{ii} = dE + P_2 dV = \frac{3}{2} P_2 dV + P_2 dV
Q_{ii} = \int_{V_1}^{V_2} \frac{5}{2} P_2 dV = \frac{5}{2} P_2 (V_2 - V_1)
Gesamtwärme:
Q = Q_i + Q_{ii} = \frac{3}{2} V_1 (P_2 - P_1) + \frac{5}{2} P_2 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} P_2 V_2 - P_2 V_1 - \frac{3}{2} P_1 V_1
Beispiel 2b) Korrigierte Version! 11. März 2008 15:35
(P_1, V_1) \rightarrow (P_2, V_2) und P = X V
Anfang analog zu Bsp. 2a)
\color{red}dE = \frac{3}{2} (PdV + VdP)
weiter:
\color{red} \delta Q = \frac{3}{2} (PdV + VdP) + PdV = 3 VX dV + VX dV = 4VX dV
\color{red}Q = \int_{V_1}^{V_2} 4VX dV = 2V^2 X |_{V_1}^{V_2} = 2(V_2^2 X - V_1^2 X) = 2(V_2^2 \frac{P_2}{V_2} - V_1^2 \frac{P_1}{V_1}) = 2(P_2 V_2 - P_1 V_1)
Schön. Kleiner Tippfehler weiter oben
bei \delta Q_{ii} = dE = \frac{3}{2} P_2 dV + P_2 dV sollte aber klar sein.
- ist gar nicht so kompliziert. Die gegebene S-Funktion ableiten und Koeffizienten der Differentiale vergleichen.
Cg
Stimmt, hab ich übersehn. Ist korrigiert.
Hm, muß ich mir morgen noch genauer anschauen, mit Krümelchen als Experten.
Damit ist aber nicht wirklich folgendes gemeint, oder?
Angabe:S(E,V,N) = N k_B ln V + \frac{3}{2}N k_B ln E - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right)
dE = TdS - PdV + \mu dN
dS(E,V,N) = \frac{\partial S}{\partial E}dE + \frac{\partial S}{\partial V}dV + \frac{\partial S}{\partial N} dN
\frac{\partial S}{\partial E} = \frac{3}{2}N k_B \frac{1}{E}
\frac{\partial S}{\partial V} = N k_B \frac{1}{V}
\frac{\partial S}{\partial N} = … egal
dS(E,V,N) = \frac{1}{T}dE + \frac{1}{T}PdV - \frac{1}{T}\mu dN = \frac{\partial S}{\partial E}dE + \frac{\partial S}{\partial V}dV + \frac{\partial S}{\partial N} dN
daraus folgt:
\frac{1}{T} = \frac{3}{2}N k_B \frac{1}{E} \rightarrow E(V,T,N) = \frac{3}{2}N k_B T
\frac{1}{T}P = N k_B \frac{1}{V} \rightarrow P(V,T,N) = \frac{N k_B T}{V}
Oder soll es das gewesen sein?
Denke schon ja.
Cg
So, zum letzten Beispiel: ich würd das einfach mit trivialer Mathematik lösen (ohne je ins Skriptum geschaut zu haben), indem ich folgende Rechnung durchführe:
T_a = T_b = T, N_a = N_b = N, V_a \neq V_b, V_c = V_a + V_b
Zeige S_c > S_a + S_b?
Aus Beispiel 1: E = \frac{3}{2}N k_B T sowie S(E,V,N) = N k_B ln V + \frac{3}{2}N k_B ln E - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) aus der Angabe zu 1)
So, hier kommen dann diese beiden Überlegungen ins Spiel (wenn die nicht stimmen, funktioniert das Beispiel auf diese Methode sowieso nicht)
E_a + E_b = E_c ? Und damit:
E_a = \frac{3}{2}N_a k_B T_a = \frac{3}{2}N_b k_B T_b = E_b = \frac{3}{2}N k_B T = \frac{E}{2} ?
Somit würde sich ergeben:
S_a= N_a k_B ln V_a + \frac{3}{2}N_a k_B ln E_a - \frac{3}{2}N_a k_B ln \left( \frac{3}{2} N_a k_B\right) = \ = N k_B ln V_a + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) und
S_b= N_b k_B ln V_b + \frac{3}{2}N_b k_B ln E_b - \frac{3}{2}N_b k_B ln \left( \frac{3}{2} N_b k_B\right) = \ = N k_B ln V_b + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right)
Damit dann
S_a + S_b= N k_B ln V_b + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) + \ + N k_B ln V_b + \frac{3}{2}N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2}N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) = \
= N k_B ln (V_a V_b) + \frac{3}{2} 2 N k_B ln \frac{E}{2} - \frac{3}{2} 2 N k_B ln \left( \frac{3}{2} N k_B\right) = \
= N k_B ln (V_a V_b) + 3 N k_B ln E - 3 N k_B ln 2 - 3 N k_B ln \left( 3 N k_B\right) + 3 N k_B ln 2 = \
= N k_B ln (V_a V_b) + 3 N k_B ln E - 3 N k_B ln \left( 3 N k_B\right)
Und für S_c würde ich dann folgendes annehmen:
S_c= (N_a + N_b) k_B ln (V_a + V_b) + \frac{3}{2} (N_a + N_b) k_B ln (E_a + E_b) - \ - \frac{3}{2} (N_a + N_b) k_B ln \left( \frac{3}{2} (N_a + N_b) k_B\right) = \
= 2N k_B ln (V_a + V_b) + 3 N k_B ln E - 3 k_B ln \left( 3 N k_B\right)
Wenn ich die beiden nun gleichsetze (und alle gleichen Terme wegstreiche) bleibt noch:
S_c= 2 ln (V_a + V_b) = ln \left( (V_a + V_b)^2 \right) > ln (V_a V_b) = S_a + S_b
Naja, und mit der Einschränkung V_a V_b \neq 1 müsste der Beweis eigentlich stimmen; denke ich zumindest…
Gibt es einen „statistischeren“ Beweis dafür?
Oder andere Meinungen?
@ ibi Bsp 2b)
Wenn du E = 3/2 PV nimmst und jetzt aber weder P noch V konstant sind, dann müsste dE ja eigentlich dE = 3/2( PdV + VdP) sein!?
mit X=P/V folgt dann aber eh dass dP = X dV =>> VdP = PdV =>> dE = 3PdV
Grüße
Du hast natürlich recht, d.h. ich hab 3 statt \frac{3}{2},
Ändert natürlich das Ergebnis ein bißchen, muß ich einarbeiten …
Danke!
Hier die fertigen Statistik Beispiele…
Bei Fehlern bitte posten, scheint aber alles halbwegs klar.
mfg Manuel
StatistikUe1-140308.pdf (596 KB)
Was kommt nun raus?
Über dE = 3 P dV sind wir uns ja mittlerweile einig, das heißt dann also dQ = dE + PdV = 4 P dV?
Und somit Q = 4\int_{V_1}^{V_2} P dV = 4X \int_{V_1}^{V_2} V dV = 2X (V_2^2 - V_1^2), was ja mit ManuelOs Lösung übereinstimmt.
Wenn dem so wäre, kann mir dann bitte wer verraten, was an der Lösung von ibi nicht stimmen soll?
Immerhin bekomme ich mit \frac{P}{V}=X
\color{red}2(P_2 V_2 - P_1 V_1)= 2\left((V_2 X) V_2 - (V_1 X) V_1\right) = 2X (V_2^2 - V_1^2)
Ja, das paßt … entlogarithmieren ergibt (V_a + V_b)^2 > V_a V_b, was für alle (V_a, V_b) \in \mathbb{R}^2 \setminus (0, 0) gilt.
Keine Ahnung wie Du auf die Einschränkung V_a V_b \ne 1 kommst. Wär etwas pervers, da V ja dimensionsbehaftet ist.
Kleiner Logikfehler meinerseits
Ja, nennt sich Energieerhaltung.
Naja, schon die Angabe ist ein wenig eigenwillig, da werden dimensionsbehaftete Groessen logarithmiert… Huh?
Ich glaube, hier triumphiert einmal mehr der mathematische Formalismus der Beweisführung über die Realität der Physik ^^
Um wieder zu 2b) zurückzukommen? Stimmt nun die Lösung von ibi und ManuelO?