Schonmal n paar Ergebnisse zum ersten Beispiel (Ich habe keine Ahnung wie man das Zeichen für die reduzierte Plank Konstante in diesem Code macht, daher verwende ich das normale h):
Ansatz ganz normal mit den e-funktionen und ± kappa als eigenwerte. Gelöst im Bereich x ungleich 0, dh Potential=0 und nur die Energie-Konstante im Kappa.
Wellenfunktion stetig an 0, ableitungen Sprung (oben)
c) zeichnen… ähm haha
d)
Für gebundenen Zustand muss Gesamtenergie im bereich dieses „Topfes“ liegen, nicht darunter oder drüber. dh A < E < 0
e)
vgl siehe Methoden Delta Funktion Herleitung. a und V spannen ein Rechteck auf deren Fläche konstant bleiben soll wärend man die Seitenlängen verändert. Der Begriff Fläche ist hier nicht Dimensionsmäßig gemeint sondern soll nur die Situation verdeutlichen:
V_{0}a=const.=„Flaeche“
mittlerer bereich geht im Grenzwert x->0 und a->0 gegen die Konstante welche unser beispiel bei x=0 als wert hat tut2009_2.pdf (27.5 KB)
sorry, aber das mit dem Punkt 1e habe ich noch nicht ganz durchschaut!?..ich habe mir die Gleichung für die Energieeigenwerte genommen und versucht den grenzwert zu berechnen…mmh funktioniert aber nicht!?
…kann mir wer einen tipp geben!
danke andi
…hi! zur lösung von lelouch: bei 1d bei der normierung kommt mir für die Konstante C noch ein 2 unter die wurzel!..den bekomme ich wenn ich das betragsquadrat berechne…und die exponenten zusammenaddiere…habe ich mich da verrechnet?
glg andi
\int_{-a}^{a}e^{-2|x|}dx=2\int_{0}^{a}e^{-2x}dx
dadurch fällt die 2 weg.
Beim 2er hab ich noch nix. Hab zwar die Seperation durchgeführt aber das wird richtig unschön mit den Konstanten. Im Moment keine Ahnung ob man die Energien gscheit bestimmen kann ohne das System komplett aufzulösen.
Beim 1e habe ich nicht mit dem direkten Energie Ausdruck gerechnet sondern mit der gelösten Wellenfunktion. Die Bereiche ausserhalb fallen genauso ab wie im Übungsbeispiel, und der mittlere Bereich wird im Grenzwert auch ident mit unserem Beispiel, daher steht die gleiche Wellenfunktion dort wie im Übungsbeispiel. Folglich müssen auch die Energien gleich sein.
Hat jemand etwas zum 2er?
Gibt es einen Weg diese Energien zu bestimmen ohne die Gleichung explizit zu lösen? Weil vor lauter Konstanten hängt man sich da ja auf.
Besonders beim verwenden der Stetigkeit an d ist der Ausdruck der heraus kommt nicht wirklich mehr zu gebrauchen.
Für die Existenzbedingungen gebundener Zustände
Für den 1-dim Fall gibt es die Lösung ausführlich im Nolting Quantenmechanik 5/1 Aufgabe 4.2.4.
(Der 2-dim Fall ist ja nur die Kombination der beiden)
Beschränkt man sich auf gebundene Zustände, d.h. die Wellengleichungen sehen aus:
\psi_I(x)=0,\ x<0\ \psi_{II}(x)=\alpha.sin(k.x+\phi),\ 0\le x \le d \ \psi_{III}(x)=\gamma.e^{-\kappa x},,\ d<x mit k=\sqrt{2m(E+V_0)/\hbar^2},\ \kappa=\sqrt{2m|E|/\hbar^2}
Mit den R.B.:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0)\ \psi_{II}(d)=\psi_{III}(d) \ \psi’{II}(d)=\psi’{III}(d)
erhält man dann
cot k.d = -\frac{\kappa}{k}\ < 0\
cot^2 k.d = \frac{1}{sin^2 k.d}-1\
\Rightarrow \frac{\kappa^2}{k^2} + 1=\frac{1}{sin^2 k.d} \Leftrightarrow sin k.d = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2md^2 V_0}}(k.d)
D.h. einerseits muss der Cotangens von k.d negativ sein, zweitens muss der Sinus von k.d eine Gerade von k.d mit der Steigung \sqrt{\frac{\hbar^2}{2md^2 V_0}} schneiden.
Man erhält dann als Bedingung für die Existenz gebundener Zustände \sqrt{\frac{\hbar^2}{2md^2 V_0}}<\frac{\pi}{2}
Zu dieser cot Beziehung bin ich auch gekommen, aber in dem k bzw Kappa (je nachdem wie mans wählt) muss ja noch die Seperationskonstante drinnen Stecken, und ich bekomms einfach nicht zustande die Seperationskonste auszudrücken.
Hmm, also hier wird das erklärt, wenn es das ist was du meinst?
Edit: K, habe statt E_x nur E geschrieben (einfach abgetippt vom Nolting ), sorry. Also in meinem vorigen Post E durch E_x ersetzen…
E ist dann einfach s.h. Link E=E_x + E_y
Oh Danke.
Das ist natürlich auch n sehr interessantes Argument was er dort durchführt. Er argumentiert irgendwie sofort dass die Brüche konstant sind und spaltet E in Ex und Ey auf… Ich hab wie gewohnt alles auf verschiedene Seiten gebracht und halt gleich einer neuen Konstante gesetzt welche ich dann nicht mehr richtig bestimmen konnte im verlauf…
Danke, ich werds nochmal mit dieser Methode rechnen.
@picodeoro: warum muss die steigung der geraden \sqrt{\frac{\hbar^2}{2md^2 V_0}}<\frac{\pi}{2} sein und nicht kleiner 1?
Die Steigung von sinx ist ja im ursprung gleich 1 und nimmt ab. Wenn also die steigung der geraden größer 1 ist, sollte sie nicht schneiden…
oder gibt es eine verschiebung, die ich in meiner rechnung übersehen habe?
lg
Stimmt, danke steinmetz, wieder ein Tippfehler , korrekt sollte es lauten
\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m d^2 V_0}}<\frac{2}{\pi}
1)Größer 1 darf die Steigung natürlich nicht sein…
2) Die Steigung muss so gewählt sein, dass die Gerade nicht schon bei k.d=\pi/2 einen Wert \ge 1 hat, da es sonst danach keine Schnittpunkte mehr mit dem Sinus geben kann
ich verstehe grad nicht, was ihr da machts???!
also der ansatz mit Ex+Ey=E hat bei mir nicht wirklich gefruchtet…weil so kann ich keine implizite gleichung für E angeben!
…ich habe nämlich E stehengelassen und seperiert über n…und so kann ich implizit eine gleichung E(n) angeben!
Dann habe ich graphisch die vier gleichungen in zwei diagrammen dargestellt…weil zwei gleichungen sind nur von n abhängig, wo die Schnittpunkte meine n liefern! und dann kann ich über die anderen zwei funktionen meine E(n) darstellen!
Das Problem dass ich jedoch habe, beginnt bei 2d)!
Hier muss ich jetzt die ersten drei Energienivieus berechnen!nur kann ich meine n nur näherungsweise berechen!Mir fällt dazu der Fixpunktsatz aus ana 1 ein!
…Gibt es einen der ebenfalls vor solchen Problemen steht? Oder hat wer eine bessere Methode gefunden um alles aufzulösen!
glg andi
Du hast recht, das mit der impliziten Glg is noch ein Problem.
Ich nehme mal an, du bezeichnest mit n die Separationskonstante, die du eingeführt hast?
Und mit E(n) bezeichnest du eine implizite Funktion f(E,n)=0 ?
Aber so eine implizite Fkt bekommt man ja auch, wenn man z.b. für E_x:=n,\ E_y=E-n setzt und dann die 2 transzendenten Glgn für die Eigenenergien E_x\ &\ E_y … -geht wahrscheinlich nicht, da die Def. einer transzendenten Glg eben ist, dass sie sich nur als implizite Funktion darstellen lässt
Bzgl. 2d) hab ich dass mit steigendenm V_0 die Anzahl der Eigenenergien zunimmt und sich die Energien verschieben (anhand von Graphen verdeutlicht), mehr nicht…?
Bzgl. 2e) Habe ich als Entartung für die Zustände
\begin{tabular}{r c|c|c}
& E_1 & E_2 & E_3 \
\hline \
Entartung: & 1 & 2 & 1
\end{tabluar}
da für Zustand E_1 ja nur E_{x1} == E_{y1} in Frage kommt, für andere aber, wenn sie sich aus Eigenenergien E_x \ne E_y zusammensetzen immer 2 gibt (in denen E_x\ &\ E_y die Rollen tauschen?
-Nach der Bedingung für nicht entartete Zustände (2b < a+c) habe ich die Schnittpunkte angesehen, und sie erfüllen sie, d.h. E_3 sollte nicht entartet sein…
Ich komm beim ersten bei der Grundzustandsenergie immer nur auf E=-\frac{2mA^2}{\hbar^2}, was hast du gemacht?
Und wie kommst du dann auf die normierte Eigenfunktion?
Bitte um Hilfe.
Lg
), sorry. Also in meinem vorigen Post E durch E_x ersetzen…
, korrekt sollte es lauten