2. Übung 20.03.2009

Quantentheorie II
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uebung02.pdf (91.3 KB)
Euer Glück, ich hab nächste Woche keine Zeit. Musste also der heutige Abend dran glauben.

Beispiel 6:

E = \sqrt{P^2c^2+m^2c^4} = mc^2\sqrt{1+\frac{P^2}{m^2c^2}}=mc^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{P^2}{m^2c^2}-\frac{1}{8}\left(\frac{P^2}{m^2c^2}\right)^2\right]
H_1= -\frac{P^4}{8m^3c^2}=-\frac{1}{2mc^2}\left(\frac{P^2}{2m}\right)^2 = -\frac{1}{2mc^2}\left(H_0 + \frac{Ze^2}{R}\right)^2 mit H_0 = \frac{P^2}{2m}-\frac{Ze^2}{R} aus der Angabe.

H_0|nlm\rangle=E_n|nlm\rangle

E_n = -\frac{Z^2e^2}{2n^2a} und a=\frac{\hbar^2}{me^2} sind bekannt.

E_n^{(1)}=\langle \psi_n^{(0)} | H_1 | \psi_n^{(0)} |\rangle
E_n^{(1)}=-\frac{1}{2mc^2}\langle \psi_n^{(0)} | H_0^2 + 2H_0\frac{Ze^2}{R} + \frac{Z^2e^4}{R^2}| \psi_n^{(0)} \rangle

\langle nlm|\frac{1}{R}|nlm\rangle = \frac{Z}{an^2} = -\frac{2E_n}{Ze^2}
\langle nlm|\frac{1}{R^2}|nlm\rangle = \frac{2Z^2}{a^2n^3(2l+1)}=\frac{8E_n^2}{Z^2e^4}\frac{n}{(2l+1)}

Einsetzen der Erwartungswerte in die Gleichung darüber und Herausheben von E_n^2 liefert dann ziemlich schnell folgendes Ergebnis:
E_n^{(1)}=-\frac{E_n^2}{2mc^2}\left(\frac{8n}{2l+1}-3\right)

Beispiel 4 gibts auch noch (mittlerweile komplett)
qu2_090320.pdf (91.8 KB)
Beispiel 5 kapier ich grad nicht.

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Hat irgendwer schon brauchbare Ergebnisse für Beispiel 5? Wir haben zwar schon ewig dran herumgerechnet und -entwickelt, aber wir kommen an keinen Punkt, an dem der Hinweis Anwendung finden würde…

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geht mir auch so,
mein vorschlag:
pfeif au die hinweise → siehe grau 9* seite 162/173

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In der aktuellen Version 5.11 von seiner Homepage müsste das dann das Beispiel 4.9* auf Seite 201 sein, oder?

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Zum Beispiel 5: Ich hab’s mir ein paar Stunden lang angeschaut, meine einzige Erkenntnis ist, dass es Beispiel 5.1.3 aus Shankar ist, „Another Way to Do the Gaussian Problem“. Dort sind die Hinweise ein wenig länger, durchgerechnet ists aber auch nicht. Vielleicht hilft euch das ja wenigstens, wenn die Quelle der Beispiele bekannt ist :slight_smile:

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das beispiel war dann nicht so schwer…halt eine aufwendigere rechnerei. dabei musste man 2 unendliche summen vertauschen, was man ja als physiker unhinterfragt machen darf :smiling_imp:

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Halt wieder so ein typisches Anserschmäh-Beispiel. Entweder man siehts, oder man siehts nicht. Angeblich ist es aber nicht relevant für die Klausur.