Auf zur zweiten Runde. 
aufgabenblatt02_ss2010i.pdf (67.3 KB)
Hier mal ein Ergebniss Murks für Beispiel
1 a)
\phi_{gesamt} = k_1\pi\rho_0(3R_0^3-r^2)\theta (R_0-r)+2k_1\rho_0\pi r^2\theta (r-R_0)
\vec E_{innen}=2k_1\pi \rho_0r\vec e_r
\vec E_{aussen}=(6k_1\pi \rho_0r^2)\vec e_r
und b)
\phi =k_1\pi\rho_0(R_0^3-2\vec a r+\vec a^2)
\vec E=-2k_1\pi \rho_0\vec a
Ich hab teilweise etwas andere Ergebnisse:
1.
a)
Gesamtraum: \phi = \pi \rho_0 (3R_0^2 - r^2) \theta(R_0 - r) + 2 \pi \rho_0 \frac{R_0^3}{r} \theta(r-R_0)
E-Feld Innen: \vec E = 2 \pi \rho_0 r \vec e_r
E-Feld Außen: \vec E = \frac{2 \pi \rho_0 R_0^3}{r^2} \vec e_r
b)
Potential: \phi = \pi \rho_0 (3(R_0^2 - r_0^2)+a^2-2ra)
E-Feld: \vec E = 2 \pi \rho_0 a \vec e_r
Was ich weiß fällt doch ein E-Feld außerhalb der Ladung mit \frac{1}{r^2} ab.
Für das 2te Beispiel benötigt man folgende zwei Formeln:
Biot-Savartsches-Gesetz:
\vec {dB} = k I \frac{\vec {dS} \times \vec r}{r^3}
Erstes Ampere’sches Gesetz:
\vec {dF} = k I \cdot \vec {dS} \times \vec B
Quelle: Walter Greiner, Klassische Elektrodynamik auf Seite 176
für den Innenraum bei (a) habe ich prinzipiell (wegen der noch unbestimmten Integrationskonstanten) die gleichen Ergebnisse für E und Phi,
aber für den Außenraum komme ich auf
\Phi _a = C_0 \ln r + C_1 und E ist „außen“ prop. 1/r.
Für das Beispiel ist der relevante (r-abhängige) Teil der Laplace Gl. in Zylinderkoordinaten
\Delta = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \left ( r \frac{\partial }{\partial r}\right )
und das ist IMO für deine Lösung nicht = 0
ad b)
E-Feld: \vec E = 2 \pi \rho_0 \vec a
d.h. die Feldlinien sind wirklich parallel und deren „Verlängerung“ geht nicht durch die z-Achse.
Ähnlich wie im Plenum.
Zu 2.3. b) Hat jemand alle 11 Variablen bestimmen können? Es bleiben zwei Variablen übrig. Man hat drei Bewegungsgleichungen und sechs Anfangsbedingungen. Weiß jemand Rat?
Zu 2.3.d) Die Angabe ist sehr widersprüchlich. Man soll nicht-relativistisch rechnen, aber mit relativistischer Energie. Ich habe die Bahngeschwindigkeit einfach mit der Lichtgeschwindigkeit angesetzt, da fällt die Masse heraus, ein Kollege hat die Masse eines Protons angenommen und damit die Geschwindigkeit ausgerechnet. Hat irgendjemand Vorschläge?
Ich hab nochmals nachgerechnet und bekomme nun für das Potential im Gesamtraum:
\phi_G = \pi \rho_0 (R_0^2(1-2\ln R_0)-r^2) \theta(R_0-r) - 2 \pi \rho_0 R_0^2 \ln r \theta(r-R_0)
ad 1.a) Meine Lösung sieht noch immer anders aus 
Bisherige Erkenntnisse:
Die Lösung der Laplace-Gleichung ergibt im Innenraum:
\Phi_i = - \pi \rho_0 r^2 + C_0 r + C_1
und im Außenraum
\Phi_a = \hat{C}_0 \ln r + \hat{C}_1
Die Anschlussbedingungen bei r=R_0 ergeben für \Phi:
- \pi \rho_0 R_0^2 + C_0 R_0^2 + C_1 = \hat{C}_0 \ln R_0 + \hat{C}_1
und für \frac{\partial }{\partial r} \Phi:
- 2 \pi \rho_0 R_0 + C_0 = \frac{\hat{C}_0}{R_0}
Ich bin mir nicht sicher, wie die Konstanten gewählt werden müssen.
Mit den obigen Gleichungen bleiben 2 Konstanten unbestimmt.
Mein Vorschlag zu deren Bestimmung:
Für r=0 kann willkürlich \Phi_i = 0 gesetzt werden, d.h. C_1=0 (oder auch eine beliebige andere Konstante).
IMO muss zusätzlich bei r=0 gelten \frac{\partial }{\partial r} \Phi = 0, damit die 2. Ableitung in jeder Richtung stetig ist. Damit ist auch C_0=0 festgelegt.
Was haltet ihr davon?
Hab im Außenraum auch \phi {a}=C{1}ln(r)+C_{2} …wobei : C_{1}=0 : sein: sollte : da: \phi _{a}(r\rightarrow \infty)=0
Das ist aber sicher falsch da das E-Feld außen sonst 0 ergeben würde! (oder?)
Ich glaube, dass statt C_0 r, C_0 ln(r) stehen müsste:
\Delta \phi = - 4 \pi \rho_0 \theta(R_0-r)
\frac{1}{r} [\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r}\phi)] = - 4 \pi \rho_0
\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r}\phi) = - 4 \pi \rho_0 r
integrieren ergibt:
(r\frac{\partial}{\partial r}\phi) = - 2 \pi \rho_0 r^2 + C_0
(\frac{\partial}{\partial r}\phi) = - 2 \pi \rho_0 r + \frac{C_0}{r}
Nochmals integrieren ergibt:
\phi = - \pi \rho_0 r^2 + C_0 \ln r + C_1
Jetzt habe ich mir überlegt: Wenn r = 0, dann ist ln(r=0) nicht definiert. Daher setze ich C_0 = 0.
Damit bleibt:
\phi = - \pi \rho_0 r^2 + C_1
@ sarabo:
was sind deine 6 anfangsbedingungen. t=0 ist klar. genauso wie x=y=z=0 bei t=0
dabei lassen sich aber meist die unbekannten nicht direkt ausdrücken.
i’m stuck…
und vllt kannst du die zwei unbestimmbaren variablen beliebig wählen, da sie zur lösung keinen „sinnvollen“ beitrag leisten, z.B. das e^- verhält sich im ganzen raum so => Bewegung unabhängig von position
hoff es hilft
@all
ich hoffe das r ohne vektorstriche ist der Betrag sqrt[x^2+y^2+z^2]=r
da das elektron ja eine spirale durchläuft und dabei beschleunigt wird. bin mir aber trotzdem ein wenig unsicher
@siegarnius
die ergebnisse für 2.1 krieg ich auch raus. das 1/r^2 kommt wahrscheinlich durch die konstanten. habs zuerst auf die integralmethode gelöst (ohne poisson), da sieht man ein bisschen mehr. is aber ähnlich dem plenumsbsp.
lg
neuer stand: 10 variablen bestimmt
nur omega fehlt
habs über die energie probiert, so mit planck und so, aber da bin ich skeptisch.
überseh ich was?
sl
Danke, jetzt hab’ ich es endlich.
War ein saudoofer Rechenfehler 
Hat jemand einen Ansatz für 2 b.
zu 2b)
aplha hängt von den variablen ab, wie es auf dem angabezettel steht.
wenn man jetzt das Kg ändert, ändert sich nur h, da sonst nicht mit dem kilogramm zusammenhängt.
da alpha aber eine experimentell bestimmte konstante ist, darf sich an dem wert nichts ändern
das heißt die einzige Möglichkeit ist es, das epsilon zu ändern, das wiederum mit dem mü zusammenhängt.
im endeffekt: ja, es ändert sich
zu 2.1 a)
die sinnvollste wahl der konstanten ergibt sich meiner meinung nach durch die bedingungen:
phi(0) endlich
phi(R0) = 0
E-feld stetig bei R0
(siehe Demtröder II S.12)
lg
Also gehen wir mal von meinen letzten Post aus:
\phi_I=-\pi \rho_0 r^2 + C_1
Der Index I soll nur auf den Innenraum deuten.
Für den Außenraum gilt:
\phi_A = C_2 \ln r + C_3
Mit \phi(r \to R_0) = 0 ausgehend kommt man auf:
-\pi \rho_0 R_0^2 + C_1 = C_2 \ln{R_0} + C_3 = 0
Also um auf die Null zu kommen muss gelten:
C_1 = \pi \rho_0 R_0^2
C_3 = - C_2 \ln{R_0}
Einsetzen ergibt r ist wieder r:
-\pi \rho_0 r^2 + \pi \rho_0 R_0^2 = C_2 \ln{r} - C_2 \ln{R_0}
-\pi \rho_0 r^2 + \pi \rho_0 R_0^2 = C_2 \cdot (\ln r - \ln{R_0})
-\pi \rho_0 r^2 + \pi \rho_0 R_0^2 = C_2 \cdot \ln{(\frac{r}{{R_0}})}
Ableiten an der Stelle R_0ergibt:
-2 \pi \rho_0 R_0 = C_2 \frac{1}{R_0}
C_2 = - 2 \pi \rho_0 R_0^2
Somit gilt für den Gesamtraum:
\phi_G= \pi \rho_0 (R_0^2 - r^2) \theta(R_0 - r) - 2 \pi \rho_0 R_0^2 \ln{(\frac{r}{{R_0}})} \theta(r - R_0)
ja hab ich auch so…