http://tph.tuwien.ac.at/smt/extra/teaching/statphys1/2_030409.pdf
auf ein neues…
Hi!
Danke dem tollen Wetter gibt es schon erste Ergebnisse 
T5
(i) zeigt man mittels ((dV/dP)T)^-1 = (dP/dV)T und Verwendung von (dV/dT)P * (dT/dP)V * (dP/dV)T = -1
(ii) einfach einsetzen und d2V/(dPdT) = d2V/(dTdP) benutzen.
T6
(i) H = p^2/(2m), freies Teilchen
(ii) Phasenraum R x R
(iii) horizontale Geraden, für größere E höher (auf der p-Achse)
(iv) p(t) = p0, x(t) = p0/m*t + x0
T7
(i) harmonischer Oszillator
(ii) Phasenraum R x R
(iii) Ellipsen, größer mit steigendem E
(iv) x(t) = x0cos(omegat) + p0/msin(omegat), p(t) = -mx0sin(omegat) + p0cos(omega*t)
T8
(i) H = p^2/(2m) + mgz
(ii) Phasenraum R x [0, unendlich)
(iii) (liegende) Parabeln, Scheitelpunkt auf der Z-Achse
(iv) p(t) = p0 - mgt, z(t) = -g/2t^2 + p0/mt + z0
(v) Periodendauer T = 4Wurzel(2mE)/(mg)
Mittelung über halbe Periode ergibt
= (3-2mg)/(12m^3g^2)Wurzel(8mE) ← da habe ich mich vielleicht verrechnet
also bis T8 (iv) bin ich voll deiner meinung…
T8 (v):
bei der Periodendauer kommt bei mir aber T = 2*sqrt(2mE)/mg raus. (hab p(t=0; z=0) = sqrt(2mE) und p(t=T; z=0) = -sqrt(2mE) angenommen)
und für die mittelung dann = 2E/3mg
Deine Periodendauer und den Mittelwert kann ich bestätigen,
da hatte ich mich definitiv verrechnet 
Also bei T7 sollte die lösung der bewegungsgleichung so ausschaun x(t)=X0cos(wt)+P0/(mw)sin(wt); und entsprechendes P(t)
Also einfach bei dem sinus term ein 1/w mehr…steht auch im restlichen internet so
Kann mir irgendwer erklären wieso
\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P \left( \frac{\partial P}{\partial V} \right)_T\left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_V = -1
ist? Schaut so aus als sollte das völlig trivial sein aber ich seh das trotzdem nicht…
auf die Frage von Hobbes:
Die Herleitung dieser Beziehung wurde im allgemeinen in der Vorlesung gezeigt. Ich möchte sie der Allgemeinheit zur Verfügung stellen, denn auch ich würde sonst nicht wissen, wie man darauf kommt!
Ausgangspunkt ist ein totales Differential für \mathrm{d}x:
\mathrm{d}x = \left (\frac{\partial x}{\partial y} \right )_z \mathrm{d}y + \left (\frac{\partial x}{\partial z} \right )_y \mathrm{d}z
genauso für \mathrm{d}z:
\mathrm{d}z = \left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_y \mathrm{d}x + \left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_x \mathrm{d}y
\mathrm{d}z wird nun in das erste Differential eingesetzt. Daraus folgt:
\mathrm{d}x = \left [ \left (\frac{\partial x}{\partial y} \right )_z + \left (\frac{\partial x}{\partial z} \right )_y \cdot \left (\frac{\partial z}{\partial y}\right )_x \right ]\mathrm{d}y + \left [ \left (\frac{\partial x}{\partial z} \right )_y \cdot \left (\frac{\partial z}{\partial x}\right )_y \right ]\mathrm{d}x
Damit diese Identität erfüllt ist, muss also gelten:
a) 1 = \left (\frac{\partial x}{\partial z} \right )_y \cdot \left (\frac{\partial z}{\partial x}\right )_y
b) 0 = \left (\frac{\partial x}{\partial y} \right )_z + \left (\frac{\partial x}{\partial z} \right )_y \left (\frac{\partial z}{\partial y}\right )_x
aus a) \rightarrow \ \left (\frac{\partial x}{\partial z} \right )_y = \left (\frac{\partial z}{\partial x}\right )_y^{-1}
aus b) \rightarrow \ - \left (\frac{\partial x}{\partial y} \right )_z = \left (\frac{\partial x}{\partial z} \right )_y \cdot \left (\frac{\partial z}{\partial y}\right )_x \ und nach Multiplikation mit \left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_y \left (\frac{\partial y}{\partial z}\right )_x
\Longrightarrow \ \left (\frac{\partial y}{\partial z}\right )_x \left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_y \left (\frac{\partial x}{\partial y} \right )_z = - 1
Das ist nun die Herleitung.
also beim 8c kommt eher ein verzerrtes dreieck mit parabelseiten raus…
@ davro: stimmt, das \omega habe ich vergessen.
zu T7: die Parabel ist natürlich bei z = 0 abgeschnitten; sie „liegt“, weil im Phasenraum üblicherweise das p nach oben aufgetragen wird.
wie bringt ihr denn bei T8 die wand ins spiel?
naja ich würde mal sagen insofern, dass man sagt, dass am punkt der wand (z=o) die potentielle Energie = 0 und die kinetische maximal ist. genau das verwendet man ja um die perioden dauer auszurechnen
hm, ich frag vielleicht nochmal anders:
weiter oben steht:
aber das kann ja nicht richtig sein, oder? sowohl der impuls als auch die z-koord. müssen ja eine periodische bewegung ausführen. p muss ja überhaupt bei z=0 einen sprung haben. wie ist dieses ergebnis also zu verstehen?
Die Gleichungen gelten genau genommen nur für die 1. Periode. Mit einer analytischen Funktion kann man den Sprung ja eigentlich nicht beschreiben → ich kanns jedenfalls nicht Es sollte hoffentlich ausreichend sein, dass man weiß das es periodisch ist. Man könnte versuchen es mit Stufenfunktionen zu berücksichtigen …
aber das ist ja keine periode oder?
bei deiner gleichung nimmt der betrag des impulses einfach linear zu. danach müsste es aber bei z=0 einen sprung geben, wobei sich das impulsvorzeichen plötzlich umdreht, erst wenn der impuls dann wieder auf p0 gesunken is ist die periode vollendet. zumindest denke ich es mir so.
wo liegt mein fehler bzw was verstehe ich nicht?
Es stimmt, dass man die Periodizität nicht in den Gleichungen sieht.
D.h. die Periodizität ergibt sich erst durch die Reflexion bei z=0, wo sich der Impuls wieder umkehrt (positiv wird) und somit wieder in Betrag und Richtung mit dem hier angenommenen Anfangszustand (z=0 und p=p0, p0 positiv) übereinstimmt.
Also gelten die Gleichungen für z(t) und p(t) mit obigen Annahmen bzgl. Anfangszustand nur für t\in \left [0, T \right ] mit Periodendauer T. Eigentlich ist es egal, wo du den Beginn der Periode annimmst, sie endet jedenfalls dann, wenn du wieder genau an diesen Punkt im Phasenraum angekommen bist.
Edit: Die Gleichungen für z(t) und p(t) gelten genau genommen nur bis das Teilchen an der Wand reflektiert wird (wenn z=0 und p < 0).
Mit obiger Annahme für den Anfangszustand gelten sie halt „am längsten“ 
Hallo,
Ich glaube, dass der Einwand von Rum-Tee berechtigt ist fürs Beispiel (8.iv).
Meine Idee:
Wenn man ein z/t- und p/t-Diagramm zeichnet, sieht man das altbewährte Sägezahn-Muster.
Dann hab ich eben die Fourier-Reihe für p(t) erstellt und in z(t) eingesetzt. (Das p(t) aus der Hamiltonfunktion für eine bzw. eine halbe Periode, diese vervollständigt - so wie im p-t-Diagramm. Wie man das macht steht im Ende des 2. Kapitels im Analysis 2 Skript)
So bekomm ich:
p(t)=\frac{2 m g \tilde{t}}{\pi} \sum \frac{(-1)^{k+1}}{k} sin(k t)
mit \tilde{t}=\sqrt{\frac{2 z_0}{g}} (Zeit, von z_0 bis Boden)
und damit wegen \dot{z}(t)=\frac{p(t)}{m}
z(t)=\frac{2 g \tilde{t}}{\pi} \sum \frac{(-1)^k}{k^2} cos(k t)
Alles ohne Gewähr.
schönen Gruß,
Mario
bleibt da nicht noch was übrig? ich checks nicht ganz
zz
(d beta/dP)=-(d kappa/dT)
d/dP ( 1/V (dV/dT)) = - d/dT (- 1/V (dV/dP))
d(1/V)/dP * d2V/dPdT = d(1/V)/dT * (d2V/dPdT)
wenn ich jetzt d2V/dPdT=d2V/dTdP nehme bleibt bei mir noch: d(1/V)/dP=d(1/V)dT übrig und wie ich zeigen soll dass das gleich ist versteh ich nicht.
@zap: Ich glaub du hast da einen kleinen Denkfehler. Zieh das 1/dP bzw. 1/dT doch direkt rein und du hast
1/V d2V/dPdT = 1/V d2V/dTdP
was natürlich das selbe ist.
Könnt irgendwer vielleicht schnell das 7.iv aufskizzieren? Irgendwo hab ich da grad einen fehler und find ihn nicht. Bei mir kommt nur schwachsinn raus.
@ bowser: ich kann das nicht bestätigen! Weil V ist doch von P und T abhängig…
@ zap: ich glaub du hast die produktregel beim ableiten vergessen!
Uiii, habs mir wieder zu einfach gemacht, stimmt. Mit der Produktregel sollt das sein:
\frac{\partial \frac{1}{V}}{\partial P} \frac{\partial V}{\partial T} = \frac{\partial \frac{1}{V}}{\partial T} \frac{\partial V}{\partial P}
Mit dem zweiten Term schon gekürzt und das sollte man jetzt auch einfach alles wegkürzen können.