Ein ziemlich seltsames Tutorium bei dem ich nicht wirklich verstehe was man machen soll. Wenn ichs gerade nach den Folien runter rechne bekomme ich zumindest mal für die kritische Temperatur
\partial_m G=0
T_c= \frac{J}{k_B}
Da der Ordnungsparameter über der kritischen Temperatur verschwinden muss.
Allerdings keine Ahnung ob das wirklich stimmt.
uebung3.pdf (22.6 KB)
Hier mal was ich bei 1) gerechnet habe:
1a) habe auch a_2(T_C)=0\ \Leftrightarrow\ J(1-\frac{J}{k_B.T_C})=0 gesetzt, d.h. T_C=\frac{J}{k_B}
Als Lösung von \frac{\partial G}{\partial m}=0 erhalte ich m_1=0,\ m_{2,3}=\pm \sqrt{\frac{J(J/k_B.T-1)}{2.a_4}}.
Wobei für Equilibrium gelten muss:
m=\left{\begin{matrix}
0 &,\ T>T_C \
\ne 0&, T<T_C
\end{matrix}\right.
Ich bin mir nicht sicher, ob man beide VZ für den Ordnungsparameter benötigt (vielleicht para & diamagnetisch) ?
Nur positives VZ… (s.h. Folien)
Über T gezeichnet liefert m(T) einfach:
m^{GG}(T)=\left{\begin{matrix}
0 &,\ T>T_C \
m_2 &, T<T_C
\end{matrix}\right.
1b) Für B ungleich 0 liefert \frac{\partial G}{\partial m}=2J(1-\frac{J}{k_B.T})m + 4 a_4 m^3 -B\ \Leftrightarrow\ 0
m soll nun linear nach B entwickelt werden:
m(B)\ \sim\ m_0 + \gamma.B\ \rightarrow\ m(B)^3\ \sim\ m_0^3 + 3m_0^2.\gamma.B
mit m_0(T) = \left{\begin{matrix}
0 &,\ T>T_C \
m_2 &, T<T_C
\end{matrix}\right.
Damit erhalte ich:
m(B)\ \sim \ \left{\begin{matrix}
\frac{B}{2J(1-J/k_B.T)} &,\ T>T_C \
m_2 - \frac{B}{4J(1-J/k_B.T)}&, T<T_C
\end{matrix}\right.
Das mit dem linear entwickeln kommt mir immer noch bissl komisch vor, auch wenn ichs mir einreden lasse.
Beim 2er (a) habe ich jetzt das Gleichungssystem gelöst und erhalte tatsächlich die geforderte bedingung, wenn ich nur die positive wurzel erlaube (kleine lösungsformel), warum auch immer.
Das System war:
G-G_0=0
\partial_\eta G=0
\eta_1=\frac{2}{\sqrt{3}}\eta_2 \pm \sqrt{\frac{4}{3}\eta_2^2-\eta_2^2}
Ja, die ganze Übung ist sehr merkwürdig dieses mal, ist ja nur ein Vorschlag von mir…
2b) Weiss ich nicht was hier wirklich gefragt ist, denn explizit kann ich hier nicht viel rechnen 
Für T>Tc werden die Lsgs von \eta^2 imaginär, d.h. nicht physikalisch, d.h. \eta=0 und darunter weiss ich nicht wie ich die freie Enthalpie im GGW schön anschreiben kann
2a) habe ich einfach (s.h. Folie 30?) für T_C:\ \sqrt{\alpha_4^2 - 4\alpha_2.\alpha6}=0 gesetzt und die Relation \eta_1=\sqrt{3}\eta_2 eingesetzt. (Man soll es ja nur zeigen)
@Lelouch, nur positive deswegen, weil \eta_1>\eta_2>0 gilt…
beim b bin ich noch total planlos. Auf den Folien steht auch net viel Hintergrund und daher bin ich auch ziemlich planlos.
ich habe beim 2a einfach das Gleichungssystem gelöst (die Ableitung nochmal mit Eta multipliziert um gleiche potenzen zu erhalten).
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 6\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\eta^6
\ \eta^4(\eta_1^2+\eta_2^2)
\ (\eta \eta_1 \eta_2)^2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\ 0
\end{pmatrix}
da die koeffizientenmatrix umformen und man kann das ziemlich einfach lösen und ich bekomme oben genannte lösungsformel.
Aber das Minus würde die beiden Eta’s nicht ins entgegengesetzte vorzeichen bringen sondern lediglich die wurzel 3 vom zähler in den nenner schieben.
was ich bei 2b genau anschreiben soll darüber muss ich noch ordentlich nachdenken glaub ich.
2)b)
Hier habe ich die Definition von diskontinuierlichen Übergängen verwendet!
Nämlich ist n=0 für T<Tc und n=maximal! für T>Tc! Und das maximale n bekomme ich aus den hergeleiteten Lsg aus 2a!..dann in G einsetzten und fertig!
Weis einer bis wohin wir in der letzten Vorlesung gekommen sind?! Ich würd nämlich gern nachfragen ob er dieses Kapitel noch einmal genauer wiederholt!..
steht hierzu eigentlich IRGENDWAS im skriptum? ich konnte leider nichts finden…
Find ich auch. Es hilft zwar nix, aber ich find’s nervig, dass es nur die paar Folien mit spärlichen Halbsätzen zum Nachschauen gibt… das motiviert nicht gerade.
Weiß jemand warum das gelten muss? Auf der Folie ist keine Ableitung dafür oder?
Und was bringt mir bei 2b die Angabe mit \eta_{1}>\sqrt{3}\eta_{2} und umgekehrt (je nach T größer oder kleiner Tc)?
Frag mich das wegen: (falls das als lösung akzeptiert wird):
Mal zum Ersten:
Ich bekomm bei 1b für das m: edit: forget it, es kommt das selbe wie bei picodeoro und leoluch raus.
Also fast das gleiche wie picodeoro nur dass ich für T<Tc 2 mal m2 statt nur 1 mal stehen hab.
Anbei meine Rechnung. edit: waren zwei Fehler drinn
Es muss T_C:\ \sqrt{\alpha_4^2 - 4\alpha_2.\alpha6}=0 gelten, denn Tc ist dadurch definiert, dass \eta\ \ne\ 0\ \Rightarrow \eta=0 geht. Dass ist aber genau, dann der Fall, wenn die anderen Lsg für Eta nicht mehr physikalisch (komplex) sind, d.h. wenn der Wurzelausdruck sein VZ ändert, d.h. durch 0 geht…
Kannst du mir sagen, wo das steht ich finde es einfach nicht - ich finde nur, dass z.b. gas-liquid übergang 1.ordnung ist, und daher die dichte springt,aber deswegen wird doch der Ordnungsparameter nicht konstant unter Tc???
Edit: Ok, anscheinend doch…
Bekomme auch das gleiche wie picodeoro bei 1b heraus.
Also was geht da jetzt bei 2b ab? Wenn etha bei T < T_c ist dann wäre G also nur G_0 und für T > T_c dann nur für etha_1 die relation zu etha_2 einsetzen? (und in die normalen ethas halt auch)
Ich seh den Sinn von 2b einfach noch nicht und die Folien helfen mal garnicht.
Ah, ich denke ich hab 2b jetzt:
Ich erhalte \eta_{Tc}=\eta_1(T_C)\Leftrightarrow \sqrt{3}\eta_2(T_C)
\eta^{GGW}=
\left{
\begin{matrix}
0 &, T>T_C\
\eta_{Tc}=\eta_1(T_C),\ \eta_1(T_C)=\sqrt{3}\eta_2(T_C) &, T<T_C
\end{matric}\right.
G^{GGW}(T)=
\left{
\begin{matrix}
G_0(T) &,\ T>T_C\
G_0(T) +6\eta_1(T)^2\eta_2(T)^2\eta_1(T_C)^2 -3(\eta_1(T)^2+\eta_2(T)^2)\eta_1(T_C)^4 +2\eta_1(T_C)^6&, T<T_C
\end{matric}\right.
was für Eta ungl. 0 bei T=Tc (d.h. von T<Tc kommend) wie gefordert in G0 übergeht.
Aja, danke.
Jo, das frag ich mich auch grad… hab den fehler grad gefunden: Hab beim einsetzen der Konstanten für’s m ein Minus vergessen.
Falls du’s noch nicht gefunden hast, im Phasen.pdf auf der 4. Seite, also 7. Folie oben.
Was ich so gehört hab soll das anders gehen (manche haben das Statistik 2 skript gekauft und dort stehts wohl drinnen, wie toll dass wir das im 1er schon machen wos net drinnen steht…)
und zwar muss man nach dem minimieren auch überprüfen ob es sich um ein Minimum handelt, und dann ob es sich auch um ein globales Minimum handelt. dh ob G dann kleiner wird als G_0.
kann irgendjemad 1b teil zwei posten. ich komme da auf ein völlig anderes ergebnis (aber falsches da nicht monoton fallend) und finde aber den fehler nicht.
ja das wär sehr geil wenn das jmd scannen o posten könnte ich komm da auch immer auf was omplett falsches und bin langsam am verzweifeln weil ich bei 2) auch ned weiter komm und jetzt nur deppad mit 1a dastehe^^
also zum 1er hätt ich das hier. das 2er is noch net fertig. ausserdem wars glaub ich mit der 2ten ableitung und net stammfunktion (also minimum von maxima unterscheiden mittels beschleunigung)
boah danke danke vielmals! das wird jetzt hoffentlich mein unwissen lüften^^
ok oder anders rum. abschätzung war wohl falsch rum. dürfte eta1 sein.
man ich muss das nochmal durchgehen, ständig die ungleichung für die etas verwechselt…