3. Tutorium am 19. Oktober 2007

Um die alte Tradition wieder herzustellen stell ich mal 1a und 1b rein:
(© Krümelchen & David)

1a)

\Psi_I = A_1 e^{ik_1 x} + B_1 e^{-ik_1 x}

\Psi_{II} = A_2 e^{ik_2 x} + B_2 e^{-ik_2 x}

Anschlußbedingungen:

\Psi_I (0) = \Psi_{II} (0) → A_1 + B_1 = A_2 + B_2

\frac{\partial}{\partial x}\Psi_I (0) = \frac{\partial}{\partial x}\Psi_{II} (0) → A_2 - B_2 = (A_1 - B_1) \frac{k_1}{k_2}

Einsetzen und umformen ergibt:

A_2 = \frac{1}{2} (A_1 (1+\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1-\frac{k_1}{k_2}))

B_2 = \frac{1}{2} (A_1 (1-\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1+\frac{k_1}{k_2}))

M = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\frac{k_1}{k_2} & 1-\frac{k_1}{k_2} \ 1-\frac{k_1}{k_2} & 1+\frac{k_1}{k_2} \end{pmatrix}

Dispersionsrelation:

k_1 = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}

k_2 = \sqrt{\frac{2m(E - V_0)}{\hbar^2}}

Die Lösung schaut eigentlich richtig aus, weil in der VO das gleiche rausgekommen ist.

Dank mode funktioniert auch b:

R = \frac{\left| j_{ref}\right|}{\left|j_{ein}\right|} = \left| \frac{B_1}{A_1}\right|^2

B_2 = 0 → A_1 (1-\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1+\frac{k_1}{k_2}) = 0

\frac{B_1}{A_1} = - \frac{1-\frac{k_1}{k_2}}{1+\frac{k_1}{k_2}} = - \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1}

R = (\frac{k_2-k_1}{k_2+k_1})^2

\frac{\left| j_{trans}\right|}{\left|j_{ein}\right|} = \frac{k_2}{k_1} \cdot \left| \frac{A_2}{A_1}\right|^2

A_1 + B_1 = A_2

A_2 = A_1 + B_1 = A_1 + A_1 \frac{B_1}{A_1} = A_1 - A_1 \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1} = A_1 (1 - \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1}) = A_1 \frac{2k_1}{k_2 + k_1}

\frac{A_2}{A_1} = \frac{2k_1}{k_2 + k_1}

T = \frac{k_2}{k_1} \cdot \left| \frac{A_2}{A_1} \right|^2 = \frac{k_2}{k_1} \cdot \frac{4{k_1}^2}{(k_2+k_1)^2} = \frac{4k_1 k_2}{(k_2 + k_1)^2}

T + R = \frac{4k_1 k_2}{(k_2 + k_1)^2} + (\frac{k_2-k_1}{k_2+k_1})^2 = \frac{k_2^2 - 2k_2 k_1 + k_1^2 + 4k_2 k_1}{(k_2+k_1)^2} = \frac{(k_2+k_1)^2}{(k_2+k_1)^2} = 1 q.e.d

Wow, fleißig. Werd dummerweise diesen Freitag mein erstes Streichresultat in Anspruch nehmen (müssen). Sch… Edyn.

Im Anhang wieder mal die Angabe.
tut2007_3.pdf (104 KB)

Bsp 2 gibts auf http://www-stud.uni-essen.de/~sb0264/QMILoesungen05.pdf (Aufgabe 19)

Vor den Amplituden gehört noch die jeweilige Wellenzahl k. Schau dir mal die Definition von j an.

Hoffe das löst das Problem.

Hm, in der Vorlesung kürzt sich die raus.

Allerdings war da j_{trans} und j_{ein} auf gleichem Potential …
Langsam klingelts, danke!

So, 1b steht jetzt auch richtig oben.
Da Beispiel 2 schon reingstellt worden ist fe lt nur noch die Dispersionsrelation für 1a, für die ich jetzt aber zu faul bin.

Super… und ich muss den sch Edyn-Nachtest machen. Wieder 4 Punkte hergeschenkt ](*,)

Ist der zur gleichen Zeit wie die Übung? In dem Fall würd ich die Beispiele einfach vorher dem Tutor/der Tutorin zeigen oder per Email schicken?

Wieso wieder? Hast vorher schon mal geschwänzt? :slight_smile:

I hab leider beide Streichresultate schon konsumiert. In der 1. Übung war i ned (Ana II) → 0 Pte und in der 2. hab ich nur ein Beispiel angekreuzt, weil ich danach Statistikprüfung gehabt habe.

So jetzt sollt alles passen.

hey ho!

um davids anstrengungen mal fortzuführen…
2a_b-----könnt ihr uns vielleicht sagen wie 2b fortgesetzt werden soll???..irgendwie…wird des ned so recht der schluss

PS. is seh grad…eigentli sollte des a ein q sein…da hab i mi vertippt…
au1_tut3_2_a_b.pdf (527 KB)

schau dir mal das bsp von der dritten übung letztes jahr an, da war exakt das gleich beispiel, vielleicht hilft euch das weiter!
(gibts irgendwo hier zum downloaden)
lg

(Link - der Admin)

hallo krümelchen!
bei bed. d) wird b2 mit b3 gleichgesetzt u gekürzt
wieso ist b2=b3 ?

@ krümelchen: wie weiter?
Du hast da so was stehen wie -k/D ~ sin 2ka. D.h k=0 (E=0) ist eine Lösung??
(Hast du nicht ein i untern Tisch fallen lassen?! Wenn ich das mit Wellenansätzen rechne, krieg ich von der 1.Ableitung und der Deltafkt eine Gleichung mit Koeffizienten D/(ik).)

Von wegen Wellenansätze: ich glaub ‚normale‘ Exponentialfkt sind eher am Platz. Wir haben ein konstantes Potential und zwei negative Deltas. Gebundene Zustände können nur eine negative Energie haben was zu reellem \kappa ( \kappa = \sqrt{ \frac{-2mE}{ \hbar ^{2} } }) bzw \psi \approx exp( \kappa x) führt.

jop, du musst eine negative energie annehmen (gebundener zustand). damit ist V > E und die allgemeine Lösung der schrödinger-gleichung durch ae^kx+be^-kx gegeben, wobei ich mit k kappa meine.

Attached meine Ideen zum Thema, schaut auch ganz plausibel aus, einzig und allein das mit den mehreren Zustaenden erscheint mir noch irgendwie zweifelhaft.
Mathematica-Notebook dazu: https://svn.themel.com/public/notes/quanten/Ue03.nb

(.nb ist leider kein erlaubtes Attachment-Format)

\edit: wurde geändert - der Admin :wink:
Quanten Ue03.jnt (1).pdf (388 KB)

Kann mir da bitte jemand helfen?
Welche Koeff stehen füyr rechts- bzw linkslaufende Wellen? Wieso?

In der Angabe zu b) ist die Antwort von a) ja eigentlich eh schon enthalten… Als Argument warum: Nimm die beiden Teilwellenfunktionen und berechne den Erwartungswert fuer den Impuls. Die mit positivem Impuls wuerde ich als „rechtslaufend“, die mit negativem Impuls als „linkslaufend“ auffassen.