Um die alte Tradition wieder herzustellen stell ich mal 1a und 1b rein:
(© Krümelchen & David)
1a)
\Psi_I = A_1 e^{ik_1 x} + B_1 e^{-ik_1 x}
\Psi_{II} = A_2 e^{ik_2 x} + B_2 e^{-ik_2 x}
Anschlußbedingungen:
\Psi_I (0) = \Psi_{II} (0) → A_1 + B_1 = A_2 + B_2
\frac{\partial}{\partial x}\Psi_I (0) = \frac{\partial}{\partial x}\Psi_{II} (0) → A_2 - B_2 = (A_1 - B_1) \frac{k_1}{k_2}
Einsetzen und umformen ergibt:
A_2 = \frac{1}{2} (A_1 (1+\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1-\frac{k_1}{k_2}))
B_2 = \frac{1}{2} (A_1 (1-\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1+\frac{k_1}{k_2}))
M = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\frac{k_1}{k_2} & 1-\frac{k_1}{k_2} \ 1-\frac{k_1}{k_2} & 1+\frac{k_1}{k_2} \end{pmatrix}
Dispersionsrelation:
k_1 = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}
k_2 = \sqrt{\frac{2m(E - V_0)}{\hbar^2}}
Die Lösung schaut eigentlich richtig aus, weil in der VO das gleiche rausgekommen ist.
Dank mode funktioniert auch b:
R = \frac{\left| j_{ref}\right|}{\left|j_{ein}\right|} = \left| \frac{B_1}{A_1}\right|^2
B_2 = 0 → A_1 (1-\frac{k_1}{k_2}) + B_1 (1+\frac{k_1}{k_2}) = 0
\frac{B_1}{A_1} = - \frac{1-\frac{k_1}{k_2}}{1+\frac{k_1}{k_2}} = - \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1}
R = (\frac{k_2-k_1}{k_2+k_1})^2
\frac{\left| j_{trans}\right|}{\left|j_{ein}\right|} = \frac{k_2}{k_1} \cdot \left| \frac{A_2}{A_1}\right|^2
A_1 + B_1 = A_2
A_2 = A_1 + B_1 = A_1 + A_1 \frac{B_1}{A_1} = A_1 - A_1 \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1} = A_1 (1 - \frac{k_2-k_1}{k_2+k_1}) = A_1 \frac{2k_1}{k_2 + k_1}
\frac{A_2}{A_1} = \frac{2k_1}{k_2 + k_1}
T = \frac{k_2}{k_1} \cdot \left| \frac{A_2}{A_1} \right|^2 = \frac{k_2}{k_1} \cdot \frac{4{k_1}^2}{(k_2+k_1)^2} = \frac{4k_1 k_2}{(k_2 + k_1)^2}
T + R = \frac{4k_1 k_2}{(k_2 + k_1)^2} + (\frac{k_2-k_1}{k_2+k_1})^2 = \frac{k_2^2 - 2k_2 k_1 + k_1^2 + 4k_2 k_1}{(k_2+k_1)^2} = \frac{(k_2+k_1)^2}{(k_2+k_1)^2} = 1 q.e.d