So, ich stelle nur die Angabe online. Eigentlich wollte ich auch noch Erwägungen zum 1. Beispiel posten, allerdings ist mein bisheriges Ergebnis leider nutzlos 
tutorium3.pdf (46.6 KB)
ich hätt mal ein paar fragen zum ersten.
ist E_0 die energie für m=1?
b) wenn ich annehmen kann, dass sich die WF nicht ändert beim verschieben, hab ich dann nur eine neue RB bei \psi (0) = \frac{1}{\sqrt a} und muss mir die neue WF damit ausrechnen?
c) Wenn ich die WF mal hab, muss ich nur noch einsetzen und umformen…
d) dasselbe
e) einfach erwartungswert für die energien einsetzen, in abhängigkeit von m
hab mal ein bisschen rumgrechnet, es kommt aber nur blödsinn raus…
und was das allerschlimmste is, ich kann die summe im hinweis nicht brauchen (ein indikator dafür dass es falsch is 
)
help
zu b) Du konstruierst dir aus den Eigenfunktionen des neuen Potentialtopfes die Funktion des alten (so ähnlich wie bei einer Fourierreihe). Du hast dann eine unendliche Summe. Stell dir die alte Wellenfunktion als einen Vektor vor, den du als Linearkombination der Basisvektoren (hier: Eigenfunktionen des neuen Potentialtopfes) ausdrückst.
Sieh dir dafür die Seite 9 des zweiten Plenums (21.10.2010) genau an, es steht [edit]dort alles wichtige sehr gerafft. Dieses Plenum ist auch wegen der Zeitentwicklung sehr wichtig[/edit].
Ich stelle das erste Beispiel online. Leider habe ich beim Scannen nicht gemerkt, dass die Auflösung eher mickrig ist, und man die Rückseite leicht durchsieht. Vielleicht komme ich am Abend dazu, eine lesbarere Variante hochzuladen.
Von der ersten auf die zweite Seite verschwindet über den Eigenfunktionen des neuen Potentialtopfes der Strich, dies hat keine tiefere Bedeutung, ich habe ihn einfach vergessen/wollte ihn nicht mehr schreiben.
Die Spielerei mit den Heaviside Funktionen ist eigentlich unnötig, dass die Integrationsgrenzen -a und a sind, kann man sich leichter daraus erklären, dass die Funktion zu t=0 außerhalb dieser Grenzen gleich 0 ist.
Die Skizze ist erst auf der zweiten Seite.
heißt das, dass ich die wellenfunktion(nen) nur für den zeitpunkt t>0 aufstell und mich der zeitpunkt null gar nicht interessiert? beeinflusst die alte wf nicht iwie die neue?
das mit den summen is ma jetzt klar. man will im prinzip eine lösung dastehen haben und nicht eine funktion mit der zusatzbedingung n=1,3,…
ich sag mal ganz naiv: wenn man die neue WF-en hat, is der rest nur enrgien u. erwartungswerte ausrechnen…?!
sl
Die alte Wellenfunktion beeinflusst die neue massiv, denn zum Zeitpunkt t=0 sind alte und neue Wellenfunktion gleich (also die Werte, die sie zwischen minus und plus unendlich annimmt, nicht ihre mathematische Darstellung). Die neue Darstellung (zu t=0) wird dann erst zeitentwickelt.
Ja, der Haken des Beispiels ist b) der Rest ist (zumindest rechnerisch) geradeaus.
hm, nicht daran gedacht.
danke, werd mich mal spieln
Bei deinem 2.Zettel, wo du dir den Entwicklungskoeffizienten ausrechnest, warum integrierst du da von -a bis +a?
Müsste es nicht von -2a bis +2a sein??
Die Integration geschieht bei t=0. Zu diesem Zeitpunkt ist die Funktion (alte wie neue) außerhalb von (-a,a) Null. Man integriert nur über den Bereich, in dem die Funktion tatsächlich einen Wert annimmt. Würdest du auf (-2a,2a) integrieren, würde \psi_0 an -2a und 2a einen Wert ungleich Null annehmen, und die Anschlussbedingungen für den unendlich tiefen Potentialtopf wären nicht erfüllt.
Auf der ersten Seite habe ich das mit Heaviside Funktionen argumentiert, die mir meine Integrationsgrenzen von +/-\infty auf -a und a ändern.
Ich hab auch von -2a bis +2a integriert bei der Berechnung von c_{n-1}.
Ich bekomm dann für die Wahrscheinlichkeit für die Messung des Grundzustandes 36%, also genau die Hälfte von dem oben geposteten Ergebnis.
Meine zeitabhängige Lösung sieht so aus:
\psi (x,t) = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{2}n sin(\frac{n \pi }{2})}{\pi (1-(\frac{n}{2})^{2})}\frac{1}{\sqrt{2a}}cos(\frac{n \pi }{4a}x) e^{-\imath \frac{E_{0}}{\hbar}n^2 t}
welche nur bei ungeraden n ungleich null ist.
Hat das sonst noch jemand so? Oder bin ich auf dem Holzweg?
Edit: Kurz vor mir gepostet. Ok dann das ganze noch mal von vorn mit neuen Grenzen.
Hat jemand ne grundsätzlich Idee zum 2.ten?
habe versucht mir die erwartungswerte für <y^2>
<p^2> auszurechnen und dann auf die Unschärfe zu kommen aber das scheint nicht der Weg zu sein den wir laut Angabe nehmen sollen.
@rasta:
hab c_{n-1} zuerst mit mathcad und dann mit da hand grechnent, ich bekomm auch
\frac{4a cos(\frac{n \pi}{4})}{1-\frac{n^2}{4}}
das \psi (x,t) von deamon sollte soweit stimmen
@ deamon: bei der wahrscheinlicjkeit für alle ungeraden funktionen bekomm ich
\frac{128}{\pi^2} \frac{1}{4-n^2}
ich hab einfach wieder c_{n-1} genommen und quadriert (wie im plenum)
edit: c_{n-1} is humbug, kann nich mal mit mathcad inegrieren 
Ich hab da einen kurzen Einwand zur berechnung von c_{n-1}.
Ich hab bei meinen beiden Berechnungen (einmal mit den Grenzen -a/+a und einmal mit -2a/+2a) stets herausbekommen daß die Koeffiezienten unabhängig von a sind.
Mit den Grenzen -a/+a kam ich zu folgendem Ergebnis:
c_{n-1}=\frac{2\sqrt{2}cos(\frac{n\pi }{4})}{(1-\frac{n^2}{4})\pi}
Ich muss es auch nochmal mit mathematica nachrechnen
@Plueschi
Meines Wissens nach ist die Fouriertransformierte von \psi(y) gleich \phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\psi(x)e^{-iky} (wobei ich mir beim Minus im Exponenten nicht ganz sicher bin). Damit komme ich auf akzeptable Ergebnisse für a) und b)
@v3xX
Ich glaube, bei deiner Wahrscheinlichkeit passen die Klammern nicht ganz, das Ergebnis liegt nicht zwischen Null und Eins.
[edit]
@rastaman
Ja, das Ergebnis habe ich auch. Ich habe leider in meiner Ausarbeitung vergessen, die Koeffizienten explizit anzuschreiben, aber wenn ich den Vorfaktor mit dem Integral multipliziere erhalten wir beide das gleiche (ein wenig anders angeschrieben).
[/edit]
genau das ist der Punkt beim 2.ten beispiel die gegebene Welle hat nichts mit y zu tun.
Deshalb ist mir auch nicht klar wie ich auf delta y und delta py kommen kann?
So nochmal zum ersten Beispiel:
Hier meine Ergebnisse:
d)
Die Wahrscheinlichkeit vor verschieben der Wand (d.h. bei t=0) den Eigenwert E_{0} zur Eigenfunktion \Psi _{0} im Zustand \Psi {0} zu messen lautet:
W(E{0})=|<\Psi _{0}|\Psi _{0}>|^2=1
Und die die Wahrscheinlichkeit nachher (d.h. bei t>0) den Eigenwert E_{0} zur Eigenfunktion \Psi {0} im Zustand \Psi (x,t) zu messen lautet:
W(E{0})=|<\Psi {0}|\Psi (x,t)>|^2
nach ausführen des Integrals von -2a bis +2a und für n=1 einsetzen erhalte ich:
W(E{0})=\frac{1}{2a}
Also ein abweichendes Ergebnis als oben gepostet.
Kann das physikalisch korrekt sein daß jetzt …hmmm… die doppelte klassische Wahrscheinlichkeit (\frac{1}{2a}=2*\frac{1}{4a}) herauskommt das Teilchen (im Grundzustand?!) zu finden? Was aber jetzt für alle t>0 gelten müsste?!
Irgendwas sagt mir daß das nicht stimmen kann und daß wie oben null rauskommen müsste, weil ja die Energie E_{0} kein Eigenwert der zeitabhängigen SG mehr ist, oder doch der stationären? Ich bin verwirrt.
Kann mir das jemand erklären?
Wie seit ihr das zweite Beispiel angegangen? Ich komm mit meiner Fouriertransformation nicht wirklich weit
kannst du mit erklären wie man auf das n = 2m+1 kommt?
das verstehe ich leider auch nach mehrmaligem durchlesen überhaupt nicht!
lg und danke
n=1,3,5,…
Das behalte ich entweder ständig im Hinterkopf, oder ich verwende stattdessen 2m+1=1,3,5,… wobei m=0,1,2,3…
Es liefert das gleiche Ergebnis aber ich muss den Index nicht in Gedanken ungerade halten.
danke
und noch eine warsch. dumme frage: bei punkt e): wie kommst du darauf, den erwartungswert mit hamilton zu rechnen?
edit: also im prinzip, wie kommst du auf = ??
Die Frage verstehe ich nicht ganz. Meinst du warum der Erwartungswert der Energie dem Erwartungswert des H-Operators entspricht? Das steht so explizit in der Angabe (gilt außerdem meines Wissens allgemein). Oder meinst du die Form =<y|Â|y>? Die stammt aus dem Plenum (21.10.2010 Seite 9), und steht auch sicher irgendwo im Skriptum.
Eigentlich fällt mir gerade auf, dass ich es unnötig kompliziert gerechnet habe, es sollte auch so gehen wie auf der oben erwähnten Folie, also mit der Summe über die mit ihren Wahrscheinlichkeiten gewichteten Energieeigenwerte. Das erspart einem die Ableitung.