Mir war ein bisschen fad, vor der Quanten 2 Probelklausur. Hier mal die Lösung für’s erste Beispiel:
Und die Lösung für’s 2. Beispiel:
Und noch das 3. Beispiel:
Hab die Integrale allerdings einfach in Mathematica eingegeben. Wie man dieses Beispiel lösen soll ohne die Integrale auszurechnen weiß ich nicht. Außerdem weiß ich nicht, wie ich c_p ausrechnen soll. C_V hab ich.
T14.pdf (402 KB)
T13.pdf (6.88 MB)
stat.pdf (1.17 MB)
Hier nochmal alle zusammengefasst in einer .pdf.
Statistik_T12-T14.pdf (1.97 MB)
Holla,
vielen vielen Dank erstmal =D>
Nur ein paar Schritte bei T12 verstehe ich noch nicht ganz, hier mal auszugsweise die q-Integration:
\int dq_{i_3} \Pi_{i=1}^{N}e^{-\beta mgq_{i3}}=(\int_{0}^{\infty} dq_{3} e^{{\beta}mgq_{3}})^{N}=(\frac{1}{\beta mg})^N
wieso ist das so?
vor allem der letzte Schritt? Gefällt mir zwar und ist sicher richtig, aber wie kommt man darauf?
Danke, LG
naja, im mittleren integral fehlt beim exponenten ein minus, aber sonst liefert die integration nach dq3 ja nichts anderes als
$\int \limits_{0}^{\infty} dq_3 \ e^{-\beta mg q_3}= -{\frac{1}{\beta mg}} (e^{-\beta mg \infty} - e^{-\beta mg 0}) = {\frac{1}{\beta mg}}$
und dann halt noch hoch N
lg
Vielen Dank Paul !! 
beim nachrechnen kommt mir bei T12 für die Zustandssumme dasselbe raus.
zu den mittelwerten:
Ich glaube du hast beim Integrieren vergessen, den Hamiltionian aufzuspalten
in einen orts- u impulsabhängigen teil, oder steht das zwischen den zeilen?
Warum setzt du für die Berechnung von dann ins Integral ein (und umgekehrt) ? Das pack i net
ich sehs nicht ganz. jedenfalls komme ich mit meiner „etwas ausführlicheren rechnung“ aufs gleiche endergebnis.
kann da bitte wer klarheit schaffen?
@ralf: eine summe in der potenz wird draussen zum produkt, und man kann natürlich bei der integration die irrelevanten koordinaten wie konstante faktoren behandeln und einfach rausyiehen, sodass sich dann ein produkt aus integralen bildet, das intgral geht mittels substitution…
@bio: sollte eig umgekehrt sein, ja. das mit dem hamiltonian is zwischen den zeilen, beim aufschreiben sieht mans eh, der irrelevante teil wird wieder zum vorfaktor… und ja, hm,… die integrale sind halt schon orsch… 
@biosphere
Bei den Mittelwerten hab ich ziemlich schnell gerechnet, weil ich den Hamilton mit Hilfe der Ableitung nach Beta rausziehen kann und mir somit eh wieder das gleiche rauskommt wie bei der Zustandssumme. Ich muss nur wissen welchen Teil ich davon dann nach Beta differenzieren muss.
Dort wo ich ausrechne gehört natürlich auch Hkin und umgekehrt. Schreibfehler.
Weiß irgendjemand einen Weg, das Beispiel 14 auszurechnen ohne die Integrale auszuwerten?
darf man bei T13, wenn man N=1 setzt einfach so nur mehr \frac{L^{2N}}{N!h^{ND}Z_{k}}(\frac{1}{\beta mg}) ^N\exp (-\beta\frac{\tilde{p}^2}{2m}) schreiben?
Das das Integral über eine Deltafunktion 1 is is ja okay, aber das das beim dritten Term keinen einfluss mehr hat is mir nicht klar!
Bitte um Hilfe
wieso sollte man N=1 setzen können? is ja ein ideales gas mit N teilchen, oder?
Man soll ja die Einteilchenverteilungsfunktion fürs 1. Teilchen berechnen, also wird das schon stimmen nehm ich an, aber ich steh bei der Integration auf der Leitung.
Weis irgendwer welche infos die Verteilungsfunktionen beinhalten?
also ich hab das so verstanden, dass die funktion „einteilchen“-funktion heisst, die is dann dieser definierte mittelwert, die integration müsste dann aber wie immer über N teilchen ausgeführt werden. wenn ich mich nicht geirrt hab, kommt das gleiche raus, kam mir aber sinnvoller vor.
weiss das irgendwer genauer?
Ich hätte da auch mal eine Frage zum T14: Wie ist denn das mit den Wärmekapazitäten? Hat da jemand Cp gerechnet, oder reicht Cv. Ich check ja diesen ganzen Thermodynamik-Hokuspokus nicht… Ist das ein System, bei dem es kein Cp gibt? Hat da wer eine Ahnung / Meinung dazu?
Also ich hab mr grad Cp ausgerechnet. In den Ergänzungen zu Kapitel 2 steht Cp=T(dS/dT)
Hab mir Sk wie auf Folie 26 Kapitel 3 ausgerechnet und dann eingesetzt. Hab aba keine Ahnung ob das stimmt…
verstehen tu ich auch relativ wenig. hab aber einfach mal Cp mit dem kanonisch-harmonischen ensemble berechnet. auf folie 33 steht da <E+PV> und das müsste ja sein. Cp ist dann (dH/dT) bei P=const., damit komme ich auf (13/4)*k
könnte aber auch einfach blödsinn sein, vielleicht gibts ja wirklich kein Cp. gottseidank war ich letzes mal dran. 
edit: ich glaub man kann das letzte ohne integrieren rechnen, indem man beim integral den exponenten so substituiert, dass die konstanten vors integral kommen, also u^4=betaar^4
Was hat’s eigentlich damit auf sich, dass bei T12 beim Wärmebad explizit „nach unten“ gekoppelt steht? Muss man das irgendwie berücksichtigen?
hallo!
hab jetzt die ersten zwei beispiele ohne mathematica integrieren hinbekommen, glaub dass es so gemeint is:
wenn man sich die berechnungen für die mittelwerte einmal so hinschreibt wie sie im skript s.29 dastehen (also das nach k) dann sieht man, dass sich extrem viel herauskürzt und man im endeffekt immer integrale dastehen hat wie
-d/d(beta)(ln(Zk)), also
-d/d(beta) integral / integral
dann werden die integrale eigentlich ziemlich erträglich ausrechenbar.
ich hoff, da kennt sich jetz irgendwer aus, mein drucker/scanner ist leider kaputt und ich beherrsche peinlicherweise kein latex… 
bsp 14 hab ich nicht wirklcih ne ahnung, wie der hinweis gemeint ist…
lg
Also, T14 kann man ohne integrieren Lösen in dem man alles wie Paul bis zu const \int_0^{\infty}r^2 e^{-\beta a r^4}dr macht. Danach substituiert man r^4 = \frac{\zeta}{\beta a} und dr = \frac{1}{4}\frac{\zeta}{\beta a}^{-\frac{3}{4}}.
Danach kann man alles mit \beta rausziehen und wie gewohnt weiter machen, da das Integral nicht an der Ableitung nach \beta beteiligt ist.
Bei mir führt das dann auf das selbe Ergbnis wie in Pauls Mathematika Rechnung.
Ich bin mir nicht sicher ob mann das wirklich mit einer Substitution lösen kann.
Die substituierte Variable hängt auf jeden Fall wieder von Beta und a ab. Wenn ich jetzt integriere und rücksubstituiere (was ich muss, da die Substituierte Variable wie gesagt von den ursprünglichen abhängt) dann bekomme ich noch weitere a’s und Beta’s vor’s Integral, von denen ich nicht sagen kann mit welcher Potenz ohne das Integral zu lösen.
Ich glaube der einzige Grund warum das funktioniert ist der, dass man mit der geeigneten Substitution jeden beliebigen Faktor vor’s Integral ziehen kann und wenn man weiß wie der aussehen muss dann substituiert man eben so ohne zu wissen, mit welcher Potenz die Vorfaktoren nach der Integration wirklich dastehen werden.
Also ich glaube nicht, dass das so funktionieren kann.
Ich glaube man müsste irgendwie abschätzen wie der Vorfaktor nach(!) der Integration aussehen wird, um es wirklich zu lösen. Bei diesem hässlichen Integral, weiß ich aber nicht wie das gehen soll.