keine müdigkeit vorschützen 
uebung5.pdf (30.2 KB)
zu b) Da der Yoshida schon bei einer Übung einen Angabenfehler hatte, beim Test ein Angabenfehler war, diesmal bei den Hinweisen ein dx fehlt, gehe ich stark davon aus dass auch die Angabe der Zustandsdichte bezüglich der Vorfaktoren einfach falsch ist!!
angabe und vorfaktoren bei b) sind doch korrekt!
ich will ja jetzt net sudan oder so (gegenteilig bin ich dankbar für die bsp )
nur ich kann da absolut garnix lesen …(schlechte scan qualität)
mfg
so a) b) und c) nochmal eingescannt. müßte jetzt besser zu lesen sein!!!
edit: letztversion!
5Uebung.pdf (2.21 MB)
und auch noch d) und e). obwohl e) han ich nur halb gerechnet. hab jetzt keine zeit mehr für statistische und mach erst wieder am dienstag weiter. die wärmemenge wird man wahrscheinlich irgendwie als integration über die temperatur erhalten.
zu e)
Q=5/2Nk*(T2-T1)
nachdem wir den Erwartungswert der Energie für die Temperatur T kennen
Nicht ganz.
Das würde stimmen wenn wir ein konstantes Volumen hätten, aber hier ist der Druck konstant (und die Teilchenanzahl).
ganz nach:
dQ=dU + pdV
wobei dU = dE (hab mich einfach so dran gewöhnt, daher nicht wundern wenn ich manchmal U statt E schreibe)
Mit dem Hinweis+Skript Seite 62 lässt sich die allgemeine Gasgleichung herleiten und das ist alles was wir noch brauchen.
V=\frac{Nk_BT}{p}
dV=\frac{Nk_B}{p}dT
und mit dem Erwartungswert der Energie in differentieller Form
dU=\frac{5Nk_B}{2}dT
daraus Folgt:
dQ=(\frac{5Nk_B}{2}+p\frac{Nk_B}{p})dT=C_pdT=\frac{7Nk_B}{2}dT
das nur noch von T_1 bis T_2 integrieren und fertig.
\Delta Q=\frac{7Nk_B}{2}\Delta T=\frac{7Nk_B}{2}(T_2-T_1)
Das Ganze deckt sich auch mit C_p=C_V+R für ein ideales Gas, hier halt mit 5 Freiheitsgraden statt nur 3.
nochmal als pdf
Übung 5 v1.0.pdf (4.6 MB)
Hallo!
Bei 1.a) bin ich mir nicht sicher was die Dimension anbelangt!
Was ich getan habe, ist einfach die Formel aus dem Skript übernommen…S.61
Dann in das Integral eingesetzt und zur Lösung die Formel vom Test herangezogen, aber den Vorfaktor darf man nicht direkt übernehmen, weil das 3N stimmt nicht!..ich glaub es gehört 4N!
Kann sich da wer anschließen? lg!
auch wenn ich nicht verstehe woher es kommt (und es macht hier auch garkeinen unterschwied weil es sich immer rauskürzt oder beim ableiten wegfällt) aber der Vorfaktor in der Angabe bei 1b muss wahrscheinlich auch bei a verwendet werden. Wenn man die Lösungen zum letzten Tutorium anschaut ist dort nämlich genau dieser Normierungsfaktor verwendet worden. Argumentieren könnte ich nur weil es eben zweiatomige Moleküle sind, daher dass für die möglichen Zustände sich ergibt N! \rightarrow 2N! (Vertauschbarkeit der einzelnen Atome, „Spiegelung“) und ebenso das Volumen der Einheitszelle aus h*h, also 2 solche Plankzellen, besteht alsoh^{3N} \rightarrow h^{4N}.
Keine Ahnung wie man das beweisen kann.
Edit:
ok das 2te Argument ergibt netmal sinn. man sieht es fehlt eindeutig mal n richtiger zugang zu dem normierungsfaktor.
ok ein bisschen einen gedanklichen zugang gibt es vieleicht für die Hochzahl von dem Plank Faktor, aber keinen rechnerischen. Im Endeffekt ist dieser Art der Normierung ja „gewählt“, aber man kann zumindest herausfinden was man gerade braucht.
Bei der normalen integration mit dem vorfaktor h^{3N} wird über d^{3N}q d^{3N}p integriert → 6N Dimensionen und ergeben für das h die Hochzahl 6/2 N= 3N
Bei dem 2 atomigen Molekülen haben wir an Koordinaten: (x,y,p_x,p_y,L, \phi, r, p_r) = 8 Dimensionen → 8/2 N = 4N → h^{4N}
Das 1/2 jeweils aus Dimensionsgründen weil wir für das ganze ja verwenden \Delta x \Delta p = h , also das h jeweils die Dimension des Produktes aus Impuls und Ort hat.
Also im 1d quasi:
\frac{\int dxdp_x}{h}=[Dimensionslos]
also mal zu e): da kann ich mich lelouch nur anschließen! er hat es ja eh sehr schön in latex geschrieben - deshalb erspare ich mir das nochmalige online stellen.
zu a): ich dachte mir zuerst der yoshida hat da einfach einen angabenfehler gemacht (wäre ja nicht das erste mal) - ihr habt da gut aufgepasst denn ich habe mir die lösung zum letzten tutorium noch nicht einmal so genau angesehen. da kommt tatsächlich auch dieser normierungsfaktor vor. wenn man sich die formel für die kanonische zustandssumme ansieht (S.61, 3.86) muss man diese auf
Z_c=\frac{1}{2N!h^{4N}}\int e^{-\beta H(\vec{q},\vec{p})}d^{4N}qd^{4N}p
abändern. dann kann man auch die formel vom yoshida mit seinen vorfaktoren die er unter b) angegeben hat, verwenden! überall wo dieser faktor auftritt halt ersetzen.
Ja an den Beispielen selber ändert sich garnichts da dieser Faktor zum Glück eh Konstant ist und uns alle Konstanten durch den ln() heraus fallen.
Aber eines hast du gerade ein bisschen übersehen. Wir Integrieren über 4N Impulse und 4N Orte, da im Hamilton Prinzip immer der Ort und dessen Impuls die Koordinaten bilden.
Ort: (x,y,r, \varphi)
Impuls: (p_x,p_y,p_r,L)
hier in der Reihenfolge dass jeder Ort mit seinem Impuls steht. als x und p_x als erstes usw.
Wären nämlich verschieden viele Orts-/Impulskoordinaten würde das Hamilton Prinzip hier nicht greifen und wir könnten auch das h nicht mehr für die Normierung verwenden, weil die Dimension nicht mehr passt.
[xp_x]=[m \frac{kgm}{s}]= [\frac{kgm^2}{s}]=[ Js]=[h]
ich glaube ich weiß ungefähr was du meinst aber ich denke du meinst nur die zugrunde liegende „kanonische“ transformation. die sagt aus dass wir 4 impulse haben und dazu 4 konjugierte impulse! das bedeutet 8 ortskoordinaten, ok ist ja klar. das bedeutet dass der phasenraum symmetrisch ist bezüglich der orts- und impulskoordinaten. aber ich würde das so sehen: wir integrieren nicht über anzahl der koordinaten sondern über eine anzahl freiheitsgrade - muß meiner meinung nach nicht immer ident sein! die 5N integration im impulsraum müßte auf jeden fall stimmen! über 4N impulskoordinaten integrieren ergibt meiner meinung nach etwas völlig anderes!
edit: ich weiß was du meinst - aber das muss ich erst mal mit 4N nachrechnen. mal schauen was dann kommt!
naja aber was wäre dann dein 5ter Impuls? wie beschrieben haben wir ja nur 4 impulse (also das N mal weglassen das versteht sich ja von selber). Eine ungleiche Anzahl an Impulsen und Orten würde uns hier den gesammten Normierungsfaktor, und Hamilton Prinzip, zerstören. Weil bei einer ungleichen Anzahl kommen wir niemals auf Joule*Sekungen.
Wir haben „im großen“ 2 Impulse p_x , p_y und „im kleinen“ 2 Impulse L,p_r und zu jedem dieser Impulse existiert eine Ortskoordinate.
ja, ja du hast recht. ich weiß nicht warum ich die symmetrie da verletzt habe, aber danke! wahrscheinlich war ich da unterbewußt von den 5N bei der berechnung des phasenraumvolumens fehlgelenkt. hab oben schon alles in den texten oben ausgebessert!
die integration über 4N impulskoordinaten hat zuerst etwas seltsam angemutet aber das passt schon so. das ganze ist etwas irreführend weil egal was man rechnet eigentlich immer das richtige ergebnis rauskommt. die integration stimmt deshalb (bis auf die vorfaktoren) weil es in dem fall egal ist wo man die eine koordinate hinzurechnet. nur die intention ist halt falsch und die reihenfolge der integration (bei mir ein rein optischer effekt).
ich werde das vielleicht (nach ausbessern) nochmals scannen. wie gesagt es ändert aber an der geschichte im prinzip nichts!
sind wir da jetzt einer meinung lelouch?
ja.
das ganze ist halt auch der grund warum wir im letzten tutorium auch über den winkel integrieren mussten (was ich damals zuerst nicht getan habe), weil das eben der Ortsfreiheitsgrad zu dem Eigendrehimpuls L ist.
wenn man das im hinterkopf behaltet ist es insofern praktisch, weil man dann immer kontrollieren kann ob man vieleicht bei der integration eine variable vergessen hat.
ich denke bei Bsp. d) kann man mit folgender Beziehung etwas einfacher rechnen:
\left\langle \left(\Delta E\right)^{2}\right\rangle=\left\langle \left(E-\left\langle E\right\rangle\right)^{2} \right\rangle=\left\langle E^{2}\right\rangle - \left\langle E \right\rangle^{2}
zu a) hat jemand ganz verstanden warum ich jetzt 2N! und h^{4N} als Normierungskonstanten brauche? Ist die Argumentation richtig, dass ich die vektoriellen Variablen nur in 2D habe, daher kriege ich folgende Freiheitsgrade: 2R, 2pR, 1r,1\theta,1pr,1L = 8
Die Form für die Erwartungswerte habe ich auch verwendet. In den eingescannten Beispielen verwendet er es im endeffekt ja auch glaub ich, er schreibt es nur nicht gleich hin.
Über das Faktorielle könnte man sich noch streiten ob es nun 2N! oder (2N)! sein soll (wahrscheinlich 2teres weil N Moleküle → 2N Atome).
Freiheitsgrade habe ich vorhin eh schon erwähnt: x,y,p_x,p_y,L, \varphi,r,p_r = 8 Variablen = 4 Orts+Impuls Paare.
Im Skript steht es immer nur allgemein mit d^{3N}q d^{3N}p → h^{3N} aber hier ist es d^{4N}q d^{4N}p → h^{4N}
ad d)
Hallo,ich hab bei der Berechnung von \left\langle E^{2}\right\rangle ein Problem, ich kapier die letzten beiden Zeilen bei der Berechnung nicht, wieso kann ich die zweite Ableitung so machen?