Ich starte den Thread zum nächsten Tutorium mal gleich mit einer kleinen Frage zu Beispiel 1:
Darf man das Noether - Theorem anwenden um zu zeigen, dass es sich bei der Translation um eine Symmetrieoperation handelt? Oder anders gefragt: Habe ich hier eine kontinuierliche Symmetrietransformation vorliegen oder nicht?
Ich hab einfach gezeigt, daß [\hat{T},\hat{H}]=0, und es ist halt eine kontinuierliche Transformation, nachdem ich den Parameter \Delta x kontinuierlich ändern kann…
wenn ich einen beliebigen Operator habe (der kein Differenzialoperator sein muss…) muss ich dann dennoch die Produktregel verwenden? konkret:
T…Translationsop. , ist dann T [V(x)*u(x)] = T[V(x)]*u(x)+T[u(x)]*V(x) ?
Im Anhang meine Version des 2.Beispiels - mit Mathematica gerechnet. Ergebnis der Aufgabe a ist mit der Angabe aus Grau S445, (A2.48) gesichert. Die Drehung des S_z-Operators habe ich dann mit (R * S_z * R^dagger) ausgeführt - hab ich geraten. Doch ist die Überführung von S_x nach S_y mit einer pi/2-Drehung um z mit gleicher Strategie zielführend, ausserdem machen wir das ja immer so… TU_Lsg_5_2.pdf (140 KB)
Sollte stimmen, ich hab’ jedenfalls das gleiche Ergebnis. Die Formel fuer das Wigner-d im Kreuzer-Skriptum ist übrigens flasch (das n-Argument des Jacobi-Polynoms sollte j-m und nicht j-m’ lauten), aber ich finde es sowieso zielführender, das Ganze einfach im PDG-Booklet nachzuschauen…
Was ist denn ein PDG-Booklet? Sollte man das wissen?
btw. darf man nun beim ersten Beispiel den Kommutator ausrechnen, bzw. hilft einem das was? Weil ich dachte, dass nur wenn das Noether-Theorem gilt mir die Kommutatoraussage was bringt… und wenns nit gilt? was mach ich dann…?
Das PDG-Booklet ist das kleine Taschenbuch, das du den Gregor immer hervorholen siehst, wenn es um irgendwelche Zahlenwerte geht. Online gibts das Ganze unter http://pdg.lbl.gov, die Seite mit den Clebsch-Gordan-Koeffizienten und den d-Matrixelementen ist hier.
@1) Ich glaube ja nicht mehr an den Kommutator, denn der zeigt mir ja nur dass T eine Erhaltungsgröße definiert. Das könnte man nur per Noethertheorem mit der Aussage „T definiert eine Symmetrietransformation“ verknüpfen, und das geht eben nur bei kontinuierlichen Symmetrien. Aber nicht mal in dem Fall bin ich mir sicher, ob’s in diese Richtung funktioniert (Erhaltungsgröße → Symmetrie).
Also muß man wohl was anderes machen…
Hat schon irgendwer eine vernünftige Definition von „Symmetrieoperation“ gefunden, mit der man was anfangen kann?
… O ist Symmetrieoperation genau dann, wenn O mit H vertauscht… Hab ich zumindest in mein Skript notiert - hat Prof. Kreuzer letzte Woche mal so nebenbei angemerkt.
IMO: Symmetrien sind Transformationen, die mit der Zeitentwicklung vertauschen. Siehe Attachment. Wenn H nicht zeitabhängig ist, dann ist H der Generator von U, und damit [U,T]=0->[H,T]=0. Symmetries.pdf (237 KB)
H IST doch der Generator von U!? Das sagt zumindest (3.132) - da dies die Schrödingergl. ist, gilt der Zusammenhang allg., also auch für expl. zeitabh. H.
Mit deiner Aussage, dass Symmetrieoperation genau dann wenn [U,T] = 0 und (3.132) landen wir IMO wieder bei der Aussage von Prof. Kreuzer [H,T]=0. Verbleibt die Frage wie ich [T,V(X)] darstelle?? Kann jemand helfen?
Bezüglich [T,V] brauch man ja einfach nur blöd für V einsetzen, und lustigerweise gabs sowas ganz ähnliches im Vorjahr schonmal, siehe dieses Posting aus dem Vorjahr…
Ich habe mein Gekritzel für die Matrixdarstellung des S_y noch in Form gebracht. Vielleicht eine Antwort für die Suche der nicht-Diagonalelemente. Tut52.pdf (56.6 KB)