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uebung06.pdf (171 KB)
Hallo!
Zum 13. Beispiel. Wie errechnet man denn die absoluten Wahrscheinlichkeiten für die Messwerte? Die bedingten findet ihr hier angegeben.
Die Rechenergebnisse von mir:
a) Messwerte: +hquer/2 bzw -hquer/2 mit Eigenfunktionen ( I UP >+i.I DOWN >) bzw (-I UP >+i.I DOWN >) und das jeweils mit Normierungsfaktor 1/sqrt(2). Der Erwartungswert ergibt 0.
b) Man führt die Zeitentwicklung durch und erhält für die eine EF den Vorfaktor exp(-it/2)*1/sqrt(2), für die andere den Vorfaktor exp(+it/2)*1/sqrt(2). Die bedingten Wahrscheinlichkeiten ergeben jeweils 0 und 1.
c) Man verwendet jetzt den Hamilton. Die EW ergeben +g und -g. Die EF dazu 1/sqrt(2)(- I UP > + I DOWNL >) bzw. 1/sqrt(2)(+ I UP > + I DOWNL >), Die Wahrscheinlichkeiten (Projektion von < PSI I jeweilige EF > als Betragsquadrat) ergeben jeweils 1/2.
d) Zeitentwicklung exp(-igt*/hquer)1/sqrt(2)(-I UP > + I DOWN >) bzw. exp(igt*/hquer)1/sqrt(2)(I UP > + I DOWN >) und die Wahrscheinlichkeiten ergeben wieder 0 und 1.
Hoffe das habt ihr auch alle so 
Ansonsten bitte melden, möchte am Donnerstag nicht vom Kramperl geholt werden…
"b) Man führt die Zeitentwicklung durch und erhält für die eine EF den Vorfaktor exp(-it/2)*1/sqrt(2), für die andere den Vorfaktor exp(+it/2)*1/sqrt(2). Die bedingten Wahrscheinlichkeiten ergeben jeweils 0 und 1. "
bei mir kommt als zustandsfunktion nach der zeitentwickung nicht dein vorfaktor sondern noch ein anderes vorzeichen und eine cos bzw sin funktion dazu die wahrscheinlichkeit wird dann aber größer als 1… ich hab aber alles genau gerechnet.
kannst du es vielleicht hochladen?
absoluten Wahrscheinlichkeiten kann man sich nicht berechnen, da man bei der zeitentwicklung ja die fälle unterscheiden muss von der vormessung. glaube ich 
und noch: was fällt einen auf: der kommutator von H,H in d bzw Sy,Sy in b ist null, dh laut schrödinger gleichung gleichzeitig scharf messbar!
bin da auch gerade dabei und hatte das auch so, aber dann ist mir aufgefallen, dass hier die zeitentwicklung doch auch schon mit dem hamiltonian gemacht werden sollte oder nicht? da ich ja die eigenwerte des hamiltonoperators in die e-funktion schreiben muss.
und ich muss die eigenzustände der S_z zeitentwickeln?
Bin auch der Meinung, dass man unter b) zuerst einmal die Zeitentwicklung des Zustandes mit dem Hamilton-Operator machen muss. Die Zeitentwicklung geht ja aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung i\hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t) \Psi(t=0) = \hat H U(t) \Psi(t=0) hervor. Als Lösung dieser DGL lautet U(t) = e ^ {-\frac{i}{\hbar}\hat H t}.
Damit entwickelt man den zeitabhängigen Zustand \Psi(t) = \sum_{n} e ^ {-\frac{i}{\hbar} E_n t} |e_n ><e_n |\Psi(t=0). |e_n> sind die Eigenzustände von H. In diesem Fall sind halt die \Psi(t=0) Eigenzustände des Operators S_z. Und wenn man halt dann Erwartungswerte oder was auch immer mit einem Operator S_z bilden will, dann verwendet man den entsprechend <\Psi (t) | S_z | \Psi (t) >. Aber S_z würde ich nicht für die Zeitentwicklung verwenden, die kommt aus der SGlg…
Oder red ich Schas? xD
Hi!
Ok, das mit dem Hamilton macht Sinn - da ändern sich dann die Eigenwerte im Exponenten in der Summe, die sind dann nicht vom Sz, sondern halt die EW des H, oder?
Ich habe das Ganze so verstanden, dass die Messung bei t=0 das System ja verändert. Woher also in der Zeitentwicklung dein Psi(t=0)*I en > kommt, verstehe ich nicht! Ich habe hier exp(…)*I en > < en I und dabei halt die Summer über die n, also einmal für Zustand 1 und dann für 2. Oder bekommt man das rein, wenn man eben sagt, dass man den Hamilton dazunimmt?
Hat beim 14. Bsp schon jemand eine Idee?
meines achtens stimmt das. wenn nicht dann sagen. bsp13 a+b
page 4.pdf (3.36 MB)
page 3.pdf (3.73 MB)
page 2.pdf (4.07 MB)
page 1.pdf (4.2 MB)
c+d noch…
Scan.pdf (962 KB)
was fällt auf? der kommutator von H,H ist null, dh laut schrödinger gleichung gleichzeitig scharf messbar! der kommutator von Sy,Sy ungleich 0 ? offenbar? hmmmm
Bin auf die gleichen Ergebnisse gekommen, sollte also stimmen
danke für den feedback!
da ist aber nur der kommutator von \left[ H,S_y\right] interessant und der ist auch nicht Null und somit muss es auch nicht gleichzeitig scharf messbar sein! und jeder operator kommutiert mit sich selbst, wenn ich mich nicht irre
Also mir fällt auf, dass die absoluten und bedingten Wahrscheinlichkeiten gleich sind.
Und zu eurer Diskussion: Jeder operator, der hermitesch ist, kommutiert mit sich selbst.
na gut dann hätten wir das bsp 13 gemacht, wie siehts mit den 14. bsp aus? ich bekomme da nix hin. wenn jemand das was gemacht hat dann bitte hochlanden.
Ja steh beim 14er auch an. Wie bildet man denn das ?Tensorprodukt? Von 2 operatoren in der dirac schreibweise… Das würd schon helfen…
ich steh noch immer beim 13er beispiel an…
wär toll wenn mir da wer helfen könnte.
wenn bei punkt a) der erwartungswert 0 ist, warum haben wir dann pberhaupt wahrscheinlichkeiten für ±h/2? müssten wir dann nicht eigentlich nix messen können weil eben der erwartungswert 0 ist?
und bei b) warum müssen wir dann bei der zeitentwicklung davon ausgehen, dass wir bei der 1. messung entweder +h/2 oder -h/2 gemessen haben wenn der erwartungswert 0 ist.
bin grad total verwirrt…
Der Erwartungswert setzt sich zusammen aus der Summe der Eigenwerte multipliziert mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten! da wir die eigenwerte +h/2 und -h/2 mit jweils der wahrscheinlichkeit 1/2 haben ergibt der Erwartungswert 0
Genau, calium hat es grad schön gesagt. Ein Erwartungswert hat mit dem Messergebnisse in dem Sinn gar nichts zu tun, das ist eine statistische Größe.
Die Unterscheidung, was man zuvor gemessen hat, ist notwendig, da durch diese Messung dein system ja verändert wird. Wenn du den EW1 gemessen hast, läuft die Zeitentwicklung anders ab, als hättest du den EW2 gemessen.
Mir fällt grad ein blödes Beispiel ein:
Die Polizei führt Geschwindigkeitsmessungen durch. Ergebnis: du wirst geblitzt, oder eben nicht. Der Statistiker überlegt sich, wie wahrscheinlich es ist, dass er geblitzt wird, bevor er bremst. Ist der Erwartungswert, dass er geblitzt wird, sehr klein, bremst er nicht. Natürlich sagt der Erwartungswert, ob man ihn als Raser entlarvt, nix über den Ausgang der konkreten Messung aus.
So, Zeitentwicklung.
Ergebnis 1: er wurde geblitzt und der Raser setzt die fahrt bis zum nächsten raderkasten fort, flucht und hat weniger Geld dabei.
Ergebnis 2: nicht geblitzt, er fühlt sich unbesiegbar.
Also erkennst du einen unterschied in seiner Zeitentwicklung. Du kannst es nicht gleich behandeln - abhängig vom Ergebnis passiert was mit ihm. Bei einer zukünftigen Messung gibt es wieder die beiden Messergebnisse, dass er erwischt wird oder nicht.
Im Prinzip wird ja darum auch geblitzt, weil mnan eine Zeitentwicklung der raser bewirken will 
Ich hoffe, das hat geholfen!
Sorry wegen der Tippfehler groß klein usw, das ist android, entwickelt sich auch je nach Messung weiter
Also meiner Meinung nach sind die absoluten und bedingten Wahrscheinlichkeiten genau vertauscht.
Bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten geht man davon aus, dass bei der ersten Messung zu 100% h_quer/2 bzw -h_quer/2 gemessen wurde, also müssen die Wahrscheinlichkeiten h_quer/2 bzw. -h_quer/2, unter der Bedingung zuerst h_quer/2 gemessen zu haben, zu messen, addiert wieder 1 ergeben. Genauso die Wahrscheinlichkeiten h_quer/2 bzw. -h_quer/2 unter der Bedingung zuerst -h_quer/2 gemessen zu haben.
Bei den absoluten Wahrscheinlichkeiten betrachtet man den „gesamten Weg“, also muss man die Wahrscheinlichkeiten bei der ersten Messung berücksichtigen. Darum muss bei der absoluten Wahrscheinlichkeit die Summe über ALLE Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben.
Ich hoffe ich red keinen Blödsinn, aber ich bin mir eigentlich ziemlich sicher