e) Hier soll man nun und \Delta E in Ortsdarstellung berechnen.
Für kommt auch dasselbe wie bei c) heraus, jedoch für d) kommt für <H^2>=0 heraus, da <x|\psi> nur ein Polynom 2.Grades ist, H^2 jedoch Ableitung 4.Grades, dh. \partial_x^4\psi(x)=0.
Weiß aber nicht wieso das so ist, wenn ich nämlich <x|\psi>\ \Leftrightarrow\ \sum \alpha_{2n+1}<x|u_{2n+1}>darstelle, sieht man sofort, da die <x|u_n> orthonormal sind, und deren Faktoren, bei Ableitung nicht verschwinden nicht die 0-Fkt sein kann tut2009_6.pdf (48.4 KB)
Danke schonmal.
Aber ich bin etwas verwirrt wegen der relation von u und Psi in der Angabe. Bisher war der Hamilton Operator angewandt auf die Wellenfunktion ja immer der Energieeigenwert (bzw Eigenwerte), hier steht das u aber über Koeffizienten in Verbindung mit Psi. Jemand ne Ahnung was die physikalische Bedeutung davon ist?
s.h. Skriptum s. 18 nach Punkt 5.
|\psi>=\sum c_n \psi_n
Das ist die Darstellung der Wellenfkt |\psi> durch die Eigenfktn.
Es sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit den EW a_n zu messen |c_n|^2 ist, bzw. in unserem Bsp für EW a_{2n+1} ist W |\alpha_{2n+1}|^2 und für a_{2n} ist W=0
zu 2)
a) Wenn ich das richtig aufgefasst habe, dass |1>^{(1)}, |2>^{(1)} den ersten Hilbertraum aufspannen und |1>^{(2)}, |2>^{(2)} den Zweiten, ist die Dimension 2x2=4.
Es gibt daher Basiszustände |11>,|12>,|21>,|22>
b) die Energien sind einfach: E|\psi> \Leftrightarrow H|\psi>, d.h.
E|11>\Leftrightarrow H|11> \Leftrightarrow H^{(1)} \otimes \mathbb{1}^{(2)} + \mathbb{1}^{(1)}\otimes H^{(2)}|11> \Leftrightarrow (E_1+ E_1)|11>\
\Rightarrow E_{11}=2E_1,\ E_{12}=E_1 + E_2,\ E_{21}=E_1 + E_2,\ E_{22}=2E_2
c) Unter der Annahme, dass die Eigenfktn normiert sind, d.h. <ij|ij>=1 ist
\Leftrightarrow<\psi|E|\psi> \Leftrightarrow \frac{1}{2}[<12|E|12>+<12|E|21> + <21|E|12>+<21|E|21>] \Leftrightarrow E_1 + E_2
d) Es ist die Warhschl. gefragt, bei einer Messung der Energie des 1.FG den Wert E1 zu messen.
Dazu muss man eine Projektion auf den Eigenraum des EW E1 des 1.FG machen : P_{E1}^{(1)}=\sum_{i=1}^2|1i><1i| \Leftrightarrow |11><11| + |12><12|.
W_{E1}^{(1)}=<\psi|P_{E1}^{(1)}|\psi> \Leftrightarrow \frac{1}{2}, d.h. man ist an dem Koeffizienten |c_1|^2 der Expansion der Funktion in Eigenfktn interessiert (s.h. oben)
Das ganze wird in Bsp 3.26a im [Grau] erklärt.
Das PDF ist sogar „virtuell“ indiziert, sodass man nur Seite 165 eingeben muss, vorausgesetzt der PDF-Viewer unterstützt das. (neue Version von Acrobat Reader sollte das zumindest…)
Ich hab beim 2a grad formal n kleines Problem.
Wenn ich in die Formel für H einsetze (mit Summen für die Einheitsmatritzen und H’s) bekomme ich Ausdrück wie zb (ich geb jetzt mal nur einen an, sind natürlich 4):
|1><1|^{(1)}|2><2|^{(2)}
Lauf Definition ist nun aber |1>^{(1)}|2>^{(2)}=|12>
Daher müsste ich den obrigen Ausdruck irgendwie auf diese Form bringen: |1>^{(1)}|2>^{(2)}<2|^{(2)}<1|^{(1)}=|12><21|
Nur da habe ich grad keine Idee wie man das korrekt macht.
Hi!
Also zu 2.a! Da komme ich auf die selbe Lösung, wenn ich die Annahme mache dass [|1> ^{(i)} & |2> ^{(i)}] für i=1,2 die einzigen Eigenzustände sind!
Oder steht dass irgendwo explizit, dass keine weiteren Eigenzustände existieren?
mmh…ich versteh zwar nicht genau was du willst, aber vielleicht hilft das!
Ich habe dabei die Energieeigenwerte von H hergeleitet und dann muss man für 2b nur noch für a und b durchzupermutieren! Spektraldarstellung von H und dessen Energieeigenwerte.pdf (218 KB)
Genau das ist ja der Punkt. Das habe ich intuitiv auch gemacht (und wird auch sein was heraus kommen soll), jedoch ist die Operation so wohl nicht sauber durchgeführt. Denn bei dir steht genau was ich meinte.
Du hast aus
|a><a|*|b><b|=|ab><ba|
gemacht, was ja eigentlich keine saubere Umformung ist. Da fehlt noch irgendwas damit man das Beispiel auch im Tutorium vorzeigen könnte.
…he? du kannst ja die bra und ket Vektoren verschieben und dann steht dort [|1> ^{(1)}*|2> ^{(2)}=|1,2>]
wo ist das unsauber?..achja, dass * ist natürlich ein tensorprodukt!
Du hast aber Basisvektoren und wenn du die vertauscht, vertauscht du die Reihenfolge der Multiplikation, was ja nach Matrix Rechenregeln nicht erlaubt ist.
Ich kann dem Problem zwar nicht ganz folgen, aber wieso zerlegt ihr denn \mathbb 1 in seine Spektraldarstellung???
Ein „Tensorprodukt“ von Operatoren angewandt auf ein Tensorprodukt von Vektoren ist äquivalent zum Anwenden des jeweiligen Operators auf den entsprechenden Vektor sh. hier, d.h.
H^{\small (1)} \otimes \mathbb{1}^{\small (2)}|a,b>\Leftrightarrow
H^{\small (1)} \otimes \mathbb{1}^{\small (2)}|a>|b>\Leftrightarrow
H^{\small (1)}|a> \otimes \mathbb{1}^{\small (2)}|b>\Leftrightarrow
E_a|a> \otimes |b> für |a> EF von H1
aber denk an deine eigene Definition…bzw. die auf dem Angabenzettel steht!
[|a> ^{(1)}\bigotimes *|b> ^{(2)}=|a,b>]
D.h. ich wähle die richtige Reihenfolge!..natürlich habe ich auch die Freiheit die Basisvektoren zu vertauschen, aber dann darf ich das so nicht hin schreiben!
