Traditionell eröffne ich mal mit der Angabe.
a07.pdf (34.5 KB)
Und weil heute so ein schöner Tag ist das Beispiel 21. dazu.
Wobei ich mir beim 21. b echt nicht sicher bin was sie von mir wollen.
Hab die Polynome ausgerechnet, aber mit der Angabe kann ich echt nix anfangen, weil mit \sum_{n=0}^{3} erzäugt man meiner Meinung nach mal gar nix.
Kann mir da wer die Angabe erklähren?
Hab hier mal Bsp 20 und 21.
Habt ihr eine Idee oder einen Ansatz zu 19ten? Bin da echt planlos!
Edyn20,21.pdf (1.37 MB)
@Wögi: Erzeugende Funktion heißt, dass dein n-ter Taylorterm (um die Null entwickelt) das n-te Legendrepolynom ist. Das heißt, du musst immer ableiten und null setzen.
Das Prinzip hinter Generating Functions mag auf den ersten Blick etwas mystisch wirken, aber sie sind echt nützlich. (auch ganz Abseits von Lösungen von Differentialgleichungen). Sie sind eine Möglichkeit sämtliche Information über dein Problem in einer handlichen Funktion hinzuschreiben, und es gibt viele Tricks mit denen man mit ihnen gut arbeiten kann.
Als kleine Kostprobe: Zu zeigen dass \sum_{k=1}^N H_k = (N+1)(H_{N+1} -1), wobei H_k := \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j} sieht echt unangenehm aus. Wenn man ein paar generierende Funktionen zu Verfügung hat, sieht man, dass beide Seiten nur unterschiedliche Entwicklungen der Koeffizienten von \frac{1}{(1-z)^2} \ln{\left(\frac{1}{1-z}\right)} sind. Da die Taylorreihe eindeutig ist, hat man sofort die Gleichheit. Ich find solche Spielereien immer echt nett.
denke das Potential beim 19er ist ein integral über "linienladungs-Potentiale endlicher länge. man stelle sich also einen ellipsoid als von linien aufgebaut vor und integriert dann über die potentiale dieser linien.
integral (phi = 0,2pi) (r=0,c) V(r,phi,l(r))(x,y,z)
habs aber noch nicht gerechnet und hoffe die mathematik erschlagt einen bei diesem eher direkten versuch nicht
@bananenneutrino:
Asoo, ja, jetzt mach das 21. sinn, Danke
zum 19. gebe ich Gangster recht, das man das Ellipsoid einfach als Linienladung darstellt, und die Geometrie der ellipse über r=r_{(z)} reinbringt.
Also in Zylinderkoords:
\left ( \frac{x}{a} \right )^2+\left ( \frac{z}{c} \right )^2=1
\Rightarrow x^2=a^2-\left ( \frac{za}{c} \right )^2
r^2=a^2-\left ( \frac{za}{c} \right )^2+y^2
und das in \begin{pmatrix}
x=r.cos\phi \
y=r.sin\phi \
z=z
\end{pmatrix}reinhämmern
oder so ähnlich, kann natürlich wie immer sein das ich mich total irre und und völlig falsch herum
Meine Vermutung ist, dass man die allgemeine Lösung der Laplacegleichung in Zylinderkoadinaten (Winkel unabhängig) an die Randbedingungen anpassen muss! z.B das es für große radiale Abstände wie eine Linienladung ausschauen soll! Ich scheitere jedoch an der allgemeinen Lösung!
Klingt fast besser.
Für meinen Ansatz ist die Ellipse auch etwas unterbestimmt, weil die Excentizität der Ellipse erst bei Punkt b) gegeben ist.
ist das Ellipsoid (da sie um die z-Achse rotiert) nicht mit
(\frac{x}a)^2+(\frac{y}a)^2+(\frac{z}c)^2=1 und somit in Zylinderkoordinaten
(\frac{r}a)^2+(\frac{z}c)^2=1 gegeben? Dann könnte man sich ja r oder z ausdrücken und einsetzen
Ich komm dabei halt auf nix
zunächst mal herzlich dank fürs durchrechnen, kleine frage zum 20er bsp, genauer 20c):
wieso lässt du/darf man die sinh-terme einfach wegfallen lassen? in der Vo haben wir sie wegen symetriegründen vernachlässigt, aber da waren ja auch alle seiten V0=0, nun sollen es aber vier beliebige potentiale sein…
falls man das darf, sollte dann beim 20b) ergebnis ebenfals der term wegfallen (???)
bitte um hilfe 
lg, stani
Sollten natürlich nicht wegfallen! Die erste Zeile von c stimmt noch danach hab ich zu eifrig subtrahiert! 
Mir kommt bei 20 genau dasselbe wie bei dir heraus, nur ohne den Vorfaktor 4(-1)^n/(2n+1)pi. Hab ohne Fourrierreihe gerechnet (einfach nur sin/cos bzw. sinh/cosh-Ansatz gemacht und an die RB angepasst), nehme an, dass deines aber richtig ist, weil man bei dir den Hinweis verwenden kann. Was ist bei mir jetzt falsch ?
Beim 19. bin ich auch planlos. Kann jemand, der es schon gemacht hat, es hochladen?
Ich bin mir nicht ganz sicher was du meinst wenn du es postest könnt ich es mir anschauen…
Also ich mach den Ansatz, dass der x-abhängige Teil ein Kosinus ist und der y-Teil aus hyperbolischen Funktionen jeweils mal Konstanten besteht. Wenn ich nun für die RB einsetze, kommt mir für die Lösung die Summe über n aus cos((2n+1)/apix)V0/2((sinh((2n+1)/apix)/(sinh((2n+1)/2pi))+(cosh((2n+1)/apix)/(cosh((2n+1)/2*pi))) heraus. Mir fehlt im Vergleich zu deiner Lösung ein Vorfaktor, den du, wie in der Vorlesung gezeigt, über eine Fourierentwicklung bestimmst, so wie ich das verstanden habe.
Hier mal Bsp 19. Wieder einmal keine Garantie 
Lg und viel Spaß noch
Bsp19.pdf (126 KB)
(Wahrscheinlich) blöde Frage zu 20a: Müsste man bei den Randbedingungen nicht eigentlich auch y einschränken? Die Leiterseiten bei x=+a/2 und x=-a/2 sind ja auch in y-Richtung ausgedehnt, genauso bei den anderen Seiten für x …? Kann natürlich sein, dass ich gerade einfach auf der Leitung stehe…
Meine Frage hat sich erledigt…
oooh, ok, da hab ich fürs 19. völlig falsch gedacht.
Danke!
Ich hab das gleiche bei a) und b) herausbekommen.
Zu \varepsilon\to 1 (Nadel):
Je größer die Krümmung einer Oberfläche wird, desto größer auch die Ladungsdichte. Kann es daher sein, dass für a\to 0 die Ladungen nur mehr an den Nadelspitzen („oben und unten“) sitzen und dazwischen nichts mehr ist? Also wie ein Dipol mit zwei gleichen Ladungen (also eben eh genau kein Dipol, aber ihr wisst schon, was ich meine )
Ich denke in dem fall ist das Problem, dass du die Periodizität der cosinus Funktion missachtest! Bin mit aber nicht sicher ob das deine Frage beantwortet!