9. Übung am 11.12.2009

261 Technische Physik (Bac.) Quantentheorie I
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Das vorletzte vorweinachtliche Tutorium hat begonnen :slight_smile:
Hmm ist diesmal anscheinend ziemlich einfach gewesen :confused:
Hier mal meine vorläufigen Lösungen zum Vergleichen:

1a) Normierung: A=\frac{1}{\sqrt{20}}
W(E_n)=0,\ n>3 (kommt nicht in Psi vor)
W(E_1)=1/5,\ W(E_2)=3/5,\ W(E_3)=1/5,\
W(E_1 \vee E_2)=4/5

_\psi=E_1W(E_1) + E_2W(E_2) + E_3W(E_3) = \frac{1}{5}(E_1 + 3 E_2 + E_3)=-\frac{ \hbar^2}{2 m a_0^2 5}(1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{9})=-\frac{23 \hbar^2}{120 m a_0^2}

1b)
W(b_l)=0,\ l>2 (kommt nicht in Psi vor)
W(b_0)=7/20,\ W(b_1)=9/20,\ W(b_2)=4/20

z-Komponente:
W(m=-1)=11/20,\ W(m=0)=9/20
<L_z>=0.W(m=0) + -\hbar W(m=-1)=-\hbar\frac{11}{20}

1c)
W({n=2, l=1})=W(n=2).W(l=1|n=2)=\frac{3}{5}.\frac{4}{7}=\frac{12}{35}, wobei W(l=1|n=2) die bedingte Wahrscheinlichkeit von l=1 unter n=2 (d.h. W(l=1) wenn n bereits 2 ist)
Ergebnis hängt nicht von Reihenfolge der Messungen ab, da [E,L^2]=0

Für t>t0 ändern sich die Ergebnisse nicht, da der Zeitentwicklungsoperator U einfach eine komplexe Phase zu den EF hinzufügt - fällt weg bei ermittlung der Observablen.

2a)
|a_1>=|1> + |2>,\ |a_2>=-|1> + |2> … nicht normiert, da für spätere Rechnung einfacher

2b) \alpha= \frac{1}{\sqrt 5}\
<1|a_1>=<1|(|1> + |2>)=1

2c) W_A(\lambda=1)=\frac{9}{10}

2d) Ich fasse das so auf, dass sich ein zufällig herausgegriffenes System entweder im Zustand |1> od. |a1> (keine Superposition) befindet, und die Wahrscheinlichkeit jeweiliges zu ziehen 50% ist.

2e)W_A(\lambda=1)=W(\psi=|a1>).W(\lambda=1|\ |a1>) + W(\psi=|1>).W(\lambda=1|\ |1>)=\frac{1}{2}(1 + 1/2)=\frac{3}{4}
tut2009_9.pdf (57.5 KB)

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für {\psi} kommt mir -\frac{67\hbar}{360ma{0}} bzw. \frac{67}{180}E_{1} heraus.

und bei 1c) bekomme ich für die wahrscheinlichkeit \frac{9}{20}.

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zu 1c
im grau auf seite 150 herum ist die angabe

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Jupp, danke, steht bei mir „auch“ (vor dem letzten =), jedoch habe ich mich beim Summieren vertan.

Und bei 1c) sind auch 9/20 und nicht 12/35, da W({n=2, l=1})=W(n=2).W(l=1|n=2)=\frac{3}{5}.\frac{9}{12}=\frac{9}{20}…

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die lösung des 1. Beispiels ist auch bei den Quantentheoriebeispiele des wintersemesters 07/08 zu finden auf quanten.at

anbei das pdf.
tut2007_7_lsg.pdf (107 KB)

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So hab jetzt auch alles erledigt und bekomme die gleichen Ergebnisse raus. Habe beim 2ten erst versucht den Eigenvektor normiert zu verwenden, aber diese Wurzel(2) Ausdrücke waren einfach nicht mehr tragbar und ich habe die normierung dann so hinein geschummelt (beim Projektor zb). Das dumme ist nur ich bin mir nicht sicher ob man es auch wirklich so machen darf.
Sehr abwechslungsreich ist die Übung wirklich nicht. Immer nur Projektoren aufstellen und halt die Produkte bilden. Für die Wahrscheinlichkeitsrechnung beim letzten Punkt von 2 musste ich aber doch etwas im Internet nachlesen da ich keine Ahnung mehr von Wahrscheinlichkeitsrechnung hatte :smiley:

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Wie immer zum vergleichen. Wenn wer wo nen Fehler finden sollte einfach sagen.
1b_s2.jpeg
1b.jpeg
1a_s3.jpeg
1a_s2.jpeg
1a.jpeg

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…
2de.jpeg
2bc.jpeg
2a.jpeg
1c.jpeg

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ok den vorletzten Punkt beim 2ten habe ich nicht ganz richtig. Da habe ich die für das Psi einfach die 1/wurzel(2) angesetzt aber vergessen dass die 2 funktionen ja nicht orthogonal sind.
Der Gedanke ist halt die chance 1/2 für jeden der 2 Zustände. Wüsste jetzt auch nicht besser als es einfach verbal zu argumentieren. Die Fragestellung ist auch irgendwie seltsam. Irgendwie sind die Fragestellungen inzwischen auch oft so dass ich erstmal garnicht verstehe was er überhaupt hören will :unamused:

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ich denk mal Dichtematrix und gemischte Zustände wär das Stichwort

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Stimmt, hatte das Ding komplett verdrängt.
Die lässt sich eigentlich sofort hinschreiben:

\rho =\frac{1}{2}|1><1|+\frac{1}{2}|a_{1}><a_{1}|

(ist so aber noch nicht normiert, das 1/2 muss man bei den a’s noch drauf multiplizieren.)

und die Wahrscheinlichkeit lässt sich auch sofort zu 3/4 berechnen wie mit der normalen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Man muss nur darauf achten die Normierung wieder einzubringen sonst kommt etwas größer 1 raus :unamused:

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bist du dir da sicher mir kommt da nähmlich 4/5 raus und zwar so:

W_{a_1}=<\psi|a_1><a_1|\psi>=\frac{1}{5}(2<1|+<2|)|1><1|(2|1>+|2>)=\frac{4}{5}

kann natürlich auch sein das ich mich verechnet hab, aber wenn mein ansatz stimmt find ich keinen fehler in meiner rechnung

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Ich glaube du hast vergessen deinen Projektor zu normieren, kann das sein? Weil dadurch bekommt man noch ein 1/2 vor das ganze.

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stimmt. mein projektor war nicht normiert und ich hab vergessen das der projektor auf |a1> nicht nur aus |1> sondern auch |2> besteht. damit komm ich dann auch auf 9/10. vielen dank da währ ich selbst sicher nicht so schnell draufgekommen :slight_smile:

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wird mittlerweile irgendwer aus 2d schlau?

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Naja ich hätte gedacht einfach mit der Dichtematrix

\rho =\frac{1}{2}|1><1|+\frac{1}{4}|a_{1}><a_{1}|

(1/4 wegen der Normierung)

und für die wahrscheinlichkeit bei e) einfach von beiden seiten mit dem Eigenvektor von 1 drauf (|a>), dann kommt jedenfalls wieder 3/4 raus. Oder hat wer was anderes?

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wo ist der unterschied zur vorigen darstellung? was meinen die mit dieser frage wohl?

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Der Unterschied ist eben das so ein statistisch gemischter Zustand durch einen Operator (Dichteoperator) und nicht durch einen Zustand selbst angegeben werden muss. (s.h. Cohen-Tannoudji „Density-Operator“)

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Auch ein interessanter Link zum Density operator: http://www.cmmp.ucl.ac.uk/~ajf/course_notes/node6.html

Berechnet man danach (über die Spur, siehe Link) die Wahrscheinlichkeit für den state |a1> (also für Messwert 1), bekomm ich auch 3/4 heraus.

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kann es sein dass ihr beim 2d de normierungskonstante 1/sqrt(2) für a1 vergessen habt?
mir kommt nämlich 1/2 raus (auch für -1, was für mich irgendwie sinn macht)