Hallo
Hab da ein Problem bei der SL-Transformation.
Ich hab die gegebene DGL in SL-Gestalt gebracht.
L(w)=-z^{2}w’‚+5zw‘=\lambda w
das heißt:
a(z)=-z^{2}
b(z)=5z
c(z)=0 , ich hab hier nur den mittleren teil der DGL verwendet und den Teil rechts mit dem Lambda einfach weggelassen. Keine Ahnung ob man das auch darf?!? Bitte Bescheid sagen.
Bei der SL-Transformation verwende ich:
\hat{L}(W)=-W’'(\xi )+\hat{g}(\xi )W(\xi )=\lambda W(\xi ) [*]
ist das Lambda hier das selbe wie oben???
ich komme dann auf
\hat{g}(\xi )=\sqrt[4]{p(z)f(z)}L(\frac{1}{\sqrt[4]{p(z)f(z)}})=9z^{2}
was ich dann bei [] einsetze
muss ich mein z durch \xi aus:
h’(z)=\sqrt{\frac{p(z)}{f(z)}}=\frac{1}{z} \rightarrow \xi =h(z)=\int_{c}^{z}{\frac{1}{x}}dx=ln\frac{z}{c}
→ z=e^{\xi }c
ersetzen?
Ich käme dann nämlich auf folgende DGL:
-W’'(\xi )+9e^{2\xi }c^{2}W(\xi )=\lambda W(\xi )
wie soll ich die unter den Bedingungen
\lambda =9
w(1)=w(e)=1
lösen?
Dein \hat{g} stimmt nicht, da musst du dich verrechnet haben. Dafür kommt nämlich nur 9 heraus, ohne z’s. Ausserdem für die Bestimmung des h(z) integrierst du zwar von c bis z aber das c wird immer weggelassen (versteh leider selber nicht genau warum, zu uns meinte man die fällt dann irgendwie weg)
Wenn du dann die DGL -W’’ + 9W=\lambda W hast setzt du für \lambda die 9 ein und löst die DGL für W. Diese Lösung transformierst du dann wieder auf w zurück indem du w(z)=W(h)*H(z) rechnest, also den Ansatz durch welchen du überhaupt auf diese Form gekommen bist. Für diese zurücktransformierte DGL setzt du nun die Randbedingungen ein und bestimmst die Konstanten.
Das Auflösen der DGL ist so nicht richtig.
Ansatz:
W=e^{\omega \xi }
Einsetzen und rausdividieren des Ansatzes liefert:
\omega _{1,2}=0
Lösung einer DGL 2ter Ordnung mit 2 gleichen Werten für Omega:
W=C_{1}\xi +C_{2}=C_{1}ln(z) +C_{2}
Integrieren würde in diesem Fall zwar auch reichen, aber du hast dich dabei etwas vertan. Wenn du hier 2mal integrierst bekommst du genau das Gleiche heraus.
Der restliche Rechenweg war aber richtig angesetzt. Die Beiden Konstanten bekommst du dann durch einsetzen der RB in die Rücktransformierte.
Wie schon angemerkt ist bei der Berechnung von \hat{g} ein Fehler unterlaufen, da muss 9 herauskommen (klassisch bei solchen Angaben, wenn da steht, dass man für \lambda=9 lösen soll, dann riecht das sehr danach, dass das \hat{g} auch 9 sein könnte .
Allerdings würde ich noch gerne ein, zwei Sachen zur Vorgehensweise anmerken. Die Konstante C wird nicht einfach beim Integrieren weggelassen, sondern wird einfach geschickt gewählt. Die Konstante C muss Element des Intervalls sein, in dem sich die Variablenwerte der DGL befinden (in dem Bsp. zwischen 1 und e). Die von Rastaman gepostete Transformation des z Intervalls auf \xi ist richtig, allerdings vor einsetzen der Grenzen ist sie \xi = (ln{x}-ln{c}) (x ist integrationsvariable). Jetzt kommt das Geschickte wählen von C ins spiel. Da die Grenzen zwischen 1 und e liegen ist es natürlich zweckmäßig C=1 zu wählen, damit der Wert 0 wird und nur \xi = ln{x} übrigbleibt (nur als Erläuterung, was hier eigentlich passiert).
Die von Lelouch gepostete Lösung für W stimmt auch. Um nun auf w zu kommen, muss man nur mehr die gefundene Lösung rücktransformieren (sprich \xi wieder mit ln{x} ersetzen und den Gesamten Ausdruck mit dem H(x) multiplizieren. Anschließend noch die Randbedingungen einsetzen und schon ist die Lösung da.
Eine Kleinigkeit noch, die vielleicht nicht ganz uninteressant ist (und ich es auch bei Rastaman wieder sehe). Bei der Ermittlung der Koeffizienten, p, f und g kommen eigentlich noch Integrationskonstanten dazu (die sich aber im Verlauf der Rechnung wieder herauskürzen), was aber am Endergebnis nichts ändert. Bei H und \xi müsste man eigentlich auch Vorzeichen beachten, aber das wird im Skriptum ab einem gewissen Punkt ganz lässig weggelassen. Der Grund ist, dass das Vorzeichen egal ist, solange man dasselbe für H und \xi wählt (kann man leicht selbst verifizieren).
Die paar Sachen noch als eventuelle kleine Verständnishilfen .
Das mit der Konstante C finde ich generell ziemlich seltsam. Mir ist einfach nicht ganz klar wieso ich eine beliebige Konstante aus dem Intervall wählen darf so dass die Lösung möglichst einfach wird. Es würde doch logischer klingen wenn man unbestimmt integrieren müsste und dann eine noch noch zu bestimmende Integrationskonstante hätte.
Irgendwie leuchtet mir das nicht ein.
Ich habe das Beispiel nun mal mit einer allgemeinen Konstante durchgerechnet. Sie hebt sich wirklich überall heraus, aber bei meinem \xi=h(x) würde sie trotzdem drinnen bleiben und warum ich diese Konstante dann beliebig wählen darf verstehe ich einfach nicht.