Da anscheinend der Darwin-Term von niemanden gerne zur Gänze hergeleitet wird, hätte ich mal eine Frage zu Seite 40, (3.64) im Faber/Leeb-Skriptum:
Zur Verfügung stehen folgende Angaben:
\Delta E_D = \left( \frac{\hbar}{\mu c}\right)^2 \frac{\pi Z\alpha_f\hbar c}{2}|\psi_{{N,l,m_l}}(0)|^2 = \left( \frac{\hbar}{\mu c}\right)^3 \frac{\mu c^2}{2}\frac{Z\alpha_f}{a^3}\delta{l0}
\psi_{{N,l,m_l}}(r)=\frac{2}{\sqrt{Nn!(N+l)!a^3}}\left(\frac{2r}{a}\right)^l L_n^{(2l+1)}(2r/a) e^{-r/a}Y{l,m_l}\n
L_n^{(2l+1)}(0)=(n+2l+1)!/(2l+1)!
Y_{00}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}
Also ich verstehe den einen Teil mal so Y_{l,m_l}=Y_{00}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}. Das versteht man ja noch.
Die Frage ist jetzt: kann ich das \delta_{l0} auf alle l in der Wellenfunktion anwenden? Andernfalls hätte ich an der Nullstelle ja ein kleines Problem mit 0^l (das ich allerdings sowieso habe, aber einfach mal damit argumentiere, dass ich zuerst das \delta_{l0} anwende und dann erst den Wert von r einsetze).
Dann käme ich nämlich mit N=n+l+1 auf
\psi_{{N,l,m_l}}(r)=\frac{2}{\sqrt{(n+1)!l!(n+2l+1)!a^3}}\left(\frac{2r}{a}\right)^l L_n^{(2l+1)}(2r/a) e^{-r/a}Y{l,m_l}\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}
Delta anwenden und danach Nullstellen einsetzen
\psi_{{N,l,m_l}}(r)= \frac{2}{\sqrt{(n+1)!(n+1)!a^3}}\left(\frac{2r}{a}\right)^0 L_n^{(1)}(2r/a) e^{-r/a}\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta{l0}\delta_{m_l 0}\
= \frac{2}{\sqrt{(n+1)!(n+1)!a^3}} (n+2l+1)!/(2l+1)! \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}
Delta nocheinmal anwenden
\psi_{{N,l,m_l}}(r)= \frac{2}{\sqrt{(n+1)!(n+1)!a^3}} (n+1)!/(1)! \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\delta{l0}\delta_{m_l 0}\
=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\delta_{l0}\delta_{m_l 0}
(Dieses Zwischenergebnis gibt er mit den Formeln 2-4 ohne weitere Rechnung an)
Damit würde ich dann tatsächlich auf das Ergebnis in der ersten Zeile kommen, allerdings mit mehrmaliger Anwendung von \delta_{l0} und mit Ignorieren von \delta_{m_l 0}.
Hat irgendwer einen Vorschlag, wie ich das Problem handhaben könnte?
).