Ich glaube wir sind alle schon Mal an der einen oder anderen Gleichung im Demtröder verzweifelt. Wenn der Ursprung einer Identität mit „man sieht sofort“ oder „aus (x.y) folgt unmittelbar“ erklärt wird, ist oft eine A4 Seite mühseligen Rechnens notwendig um diesen Schritt nachvollziehen zu können.
Daher dachte ich, ein Thread in welchem ForumsteilnehmerInnen den Ursprung scheinbar vom Himmel gefallener Ausdrücke erfragen können würde allen beteiligten (und auch zukünftigen Generationen) das Leben erleichtern.
Wie man zu (1.21) kommt verstehe ich noch. Es soll dann der Ausdruck 1/|R+d/2| Taylor entwickelt werden.
Dafür wird \frac{1}{|R-\frac{d}{2}|} = \frac{1}{R}\frac{1}{sqrt(1+\frac{Rd}{R^2}+\frac{d^2}{(4*R^2)})}
umgewandelt.
Wie eine Taylorentwicklung dieses Ausdrucks um R=0 herum zu \frac{1}{R}*(1-\frac{1}{2} \frac{ Rd}{R^2}+…)
werden soll ist mir jedoch ein Rätsel.
Wenn ich die Wurzel ableite, wird mir doch immer eine Wurzel bleiben oder nicht? Wohin verschwindet sie also?
(LaTex Frage nebenbei: wie kann ich Vektorpfeile erstellen?)
was ein reines Polynom in der Variable $(x-y)$ ist, also der Differenz von $x$ zum Entwicklungspunkt $y$.]
In den auftretenden Ableitungen in der Reihe wird immer der Funktionswert ausgewertet, es bleibt nie eine Funktion, sondern immer eine Konstante übrig. (Sonst könnte man nicht von einem Polynom sprechen.)
Deswegen darfst du in deiner Taylorreihe auch keine Wurzel von R mehr sehen.
Was auch zu bemerken ist, ist dass die Approximation nur funktioniert, wenn x nicht in der Nähe von -(d/2) liegt. Genau dort ist die Funktion nicht differenzierbar, womit die Taylorreihenentwicklung fehlschlägt.
EDIT: Die Hyperlinks einfach copypasten… weiß ned, warum er hier spinnt.
(LaTex Frage nebenbei: wie kann ich Vektorpfeile erstellen?)
\vec{v} sollte funktionieren. Sieht aber imo nicht sehr schön aus.
Nun ich hab den Demtröder nicht bei der Hand, weiß also ned wofür die Formel steht, die Mathematik ist aber simpel:
$N$ ist hier eine Funktion von x, sonst macht das totale Differential keinen Sinn.
Umgeschrieben ergibt das (genauer gesagt folgt das aus der Definition des totalen Differentials… ich „dividier“ hier nirgends mit dx)
$\frac{dN}{dx}=\gamma N$
eine typische Differentialgleichung, welche man auch als
\begin{equation}
\frac{1}{N} \frac{dN}{dx}=\gamma = \frac{d \ln{(N)}}{dx}
\end{equation}
woraus folgt
\begin{equation}
\ln{(N)} = \gamma x + C
\end{equation}
oder
\begin{equation}
N = N_0 e^{\gamma x}
\end{equation}
Das Potential ist ja definiert als \Phi=\int_r^\infty{\vec E\cdot \mathrm{d} \vec A}
Aber \Phi=\int_r^\infty{\frac{Q\cdot r}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot \frac{\vec r}{|\vec r|}\mathrm{d}\vec A} wird doch niemals
\Phi=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R}\cdot(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2R^2}) ergeben.
Hey Leute, ich hätte noch eine Frage zu der Multipolentwicklung auf Seite 14/15:
wie kommt \operatorname{grad}(\Phi_D)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot((\vec d\cdot \vec R )\cdot \operatorname{grad}(\frac{1}{R^3})+\frac{1}{R^3}\cdot\operatorname{grad}(\vec d \cdot \vec R))
zustande?
Ich habe versucht mir diese Beziehung in Indexschreibweise zu überlegen, bin daran jedoch gescheitert.
Stimmt es, dass diese Beziehung so aussehen würde:
Zuerst einmal: die Definition vom Potential ist eigentlich \Phi(P)=\int_P^\infty{\vec E\cdot \mathrm{d} s}, beziehungsweise ist die obere Integralsgrenze egal, der Unterschied ist jeweils nur eine additive Konstante.
In dem Fall, dass du das Potential im Inneren der Kugel berechnest, darfst du das Integral nicht einfach bis unendlich laufen lassen (letzendlich ist das E-Feld auf der Aussenseite auch anders als drinnen, ansonste würde das Integral divergieren…)
Also integrierst du so: \Phi=\int_r^R{\frac{Q\cdot r}{4\pi\epsilon_0R^3}\cdot dr + \int_R^{\infty}{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\cdot dr = D - \frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\frac{r^2}{2}, wobei D eine additive Konstante ist.
Was \Phi(R) ist, erhältst du aufgrund der Stetigkeitsbedingung des Potentials an R. Daraus weißt du, was die Konstante D sein muss.
Das ist einfach nur mehrdimensionale Produktregel beim Differenzieren.
\operatorname{grad}(\Phi_D)=\operatorname{grad}(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\bf{d} \cdot \bf{R}}{R^3})
Die einzigen Größen die nicht Konstant sind, sind \bf{d} \cdot \bf{R} und 1/R^3.
Die mehrdimensionale Produktregel geht hier analog wie beim eindimensionalen Fall. Für die Lösung gilt dann: \operatorname{grad}(\Phi_D)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot((\vec d\cdot \vec R )\cdot \operatorname{grad}(\frac{1}{R^3})+\frac{1}{R^3}\cdot\operatorname{grad}(\vec d \cdot \vec R)) (Du hattest ein 1/R^3 zu viel.)
Edit: Tu dir hier die Indexnotation bitte nicht an. (; Ich wills ned nachprüfen, aber du hast sicher einen der Indizes j, ,k oder l vertauscht. Du willst einen Vektor übrig haben, es darf also nur ein Index ungebunden übrigbleiben.
Bestimmen Sie ausgehend von den Airy Formeln (sie werden angegeben) die Transmission als Funktion von Dj (mit Diagramm).
Was meinen die mit Dj, finde diesen Ausdruck nirgends im Demtröder, ausser dem Diagramm wo zu den Transmissionsspitzen bei 2m\pi die Halbwärtsbreite \epsilon = \frac{4}{\sqrt{F}} berechnet wurde.
Weil du zum Zeitpunkt t=0 den Schalter S öffnest, und dadurch die Spannungsquelle U_0 nichts mehr beitragen kann. Ab da fließt nur noch Strom, weil die Energie, welche im Magnetfeld gespeichert ist durch einen Strom über den Widerstand R_1 in Wärme umgewandelt wird.
Ich dachte aber, dass eine Spannungsquelle eben immer eine konstante Spannung liefert, egal was in dem Stromkreis so passiert.
Ich brauche ja an sich keinen geschlossenen Stromkreis um eine Potentialdifferenz (=Spannung) zwischen zwei Punkten zu messen.
Wieso also bricht die Spannung zwischen den zwei Klemmen der Spannungsquelle zusammen? Dazu müsste es doch zuerst zu einem Potentialausgleich kommen…
Die Maschenregel gilt aber nur in geschlossenen Stromkreisen! Wenn keine direkte Verbindung besteht, kann kein Strom fließen. Wenn du eine Batterie nur an einem Pol anschließt wird auch nichts passieren, obwohl sie 9V liefern würde.
Du hast recht, die Spannungsquelle U_0 bricht natürlich nicht zusammen, nur sie wird praktisch aus dem Stromkreis genommen und liefert somit keinen Beitrag mehr.
Hey, ich habe gleich noch eine Frage zu einem ähnlichen Thema:
Auf P. 161 - „Transformatoren“ steht, dass der Verlust beim Übertragen von elektrischer Energie über weite Strecken wegen P=UI=I^2R bei hohem Strom und niedriger Spannung maximal und bei hoher Spannung und niedrigem Strom minimal wird.
Ebenso gut könnte ich aber doch P_{el}=U*I \text{ mit } I=\frac{U}{R} \text{ zu }P=\frac{U^2}{R} machen, woraus das Gegenteil folgen würde, oder nicht?
Das würde zu \frac{\Delta P_{el}}{P_{el}}=\frac{U^2}{R\cdot U\cdot I}=\frac{U}{R\cdot I}=\frac{1}{I^2\cdot R}\cdot P_{el} führen.
Hier nimmt die Leistung ja mit dem Quadrat des Stroms ab…
welche man auch als