Hi, wollte im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator fragen, ob hier jemand 'ne verständliche Erklärung dafür weiß, weshalb für homogene lineare DGen das Superpositionsprinzip gilt, die Linearkombination der beiden Lösungen also die allgemeine Lösung ist. Hoffe ich hab das richtige Forum erwischt, danke!
Weil es auch für die Ableitungen gilt.
Angenommen, wir haben
a x’’ + b x’ + c x = 0
Wenn u und v mögliche Lösungen für x sind, d.h. wenn
a u’’ + b u’ + c u = 0
a v’’ + b v’ + c v = 0
------------------------ zusammenzählen
a (u’’ + v’‚) + b (u‘ + v’) + c (u + v) = 0
Da jetzt aber u’’ + v’’ dasselbe ist wie (u + v)‚‘, gilt auch
a (u + v)‚‘ + b (u + v)’ + c (u + v) = 0
und damit wäre das Superpositionsprinzip bewiesen.
Hoffe das war jetzt kein totaler Schwachsinn…