Elektrostatische Energie

Skriptum S. 42:
W=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V\vec E(\vec r)^2\ dV = \frac{1}{2}\int\limits_V\phi(\vec r)\varrho(\vec r)\ dV+\frac{1}{8\pi}\oint\limits_F(\phi\vec\nabla\phi)\cdot\vec{dA}

Kann mir irgendwer einen Tipp geben? Ich komm einfach nicht drauf, warum… die Erklärung („Verwendung der Darstellung der Feldstärke als Gradientenfeld sowie der 1. Maxwell- bzw. der Poissongleichung“) nützt mir auch nix - ich seh nicht, wo ich da die 1. Maxwellgleichung oder die Poissiongleichung einsetzen könnte. Ich komm beim Umformen nur bis
W=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V (\vec\nabla\phi)(\vec\nabla\phi)\ dV = \frac{1}{8\pi}\int\limits_V (\frac{d\phi}{dx})^2+(\frac{d\phi}{dy})^2+(\frac{d\phi}{dz})^2\ dV, aber nix von zweiten Ableitungen (die ich ja für die Poissongleichung brauchen würde)

Dir fehlt vermutlich das, was in Prama II Green’sche Formel heißt und in Methoden als „Zweiter Satz von Green“ bekannt war:

\int_B u\Delta w - w\Delta u dV= \int _{\partial B} u \nabla w - w \nabla u d\vec A

Herleitung: einfach \nabla(s\vec v) = s\nabla\vec v + \vec v \nabla s nach dV integrieren, dann einmal s=u und v = \nabla w einsetzen und einmal s=w und v = \nabla u, voneinander abziehen, Satz von Gauß.

Hm ich vermute auch, dass man so einen Satz braucht, aber ich sehs immer noch nicht ganz. Was ist hier das u bzw. v?

Alsdann, verfluchte TeX-Plackerei:

W = \frac{1}{8\pi} \int_V d^3r \vec E(\vec r)^2 = \frac{1}{8\pi} \int_V d^3r \nabla \varphi(\vec r)^2

Eigentlich braucht man dann die Greensche Formel gar nicht, sondern nur die einfache Divergenzformel aus der Herleitung.

\nabla(s\vec v) = \nabla(s)\vec v + \nabla(\vec v)s \Rightarrow \int_{\partial V} d^2 \vec f s\vec v = \int_V d^3r \nabla(s)\vec v + \int_V d^3r s \nabla(v)

Mit s=\varphi und \vec v = \nabla \varphi ist also

\int_{\partial V} d^2 \vec f \varphi \nabla \varphi = \int_V d^3r \nabla\varphi^2 + \int_V d^3r \varphi \Delta \varphi

Dann noch umgruppieren und eben Poisson einsetzen.

Danke… faszinierend, so macht man aus (1. Ableitung)^2 eine zweite Ableitung :slight_smile:

PS: Im EDYN-Skriptum heißt’s „1. Greenscher Integralsatz“, Formel I.12a