leider hab ich problem mit den korrekturtermen und hänge da schon seit einiger zeit, mir fehlt eine idee und ich komm einfach nicht drauf.
ich wär sehr froh wenn mir jemand damit helfen könnte.
genauer gesagt:
mir ist klar dass H0=T+V, die drei Zusatzterme kommen ohne Herleitung, ok.
aber wie ergibt sich aus den Hkk, Hls, Hd dann letztendlich deltaEkk, deltaEls und deltaEd? ich versteh da den zusammenhang irgendwie nicht - ich dachte E=H gilt aus der QM? (also von 3.55 auf 3.56/.57/.62 und .65 zu kommen)
kann mir damit jemand vielleicht einen kleine tipp geben?
3.56) \sqrt{\mu^2 c^4 + p^2 c^2} ist die Herleitung für den Korrekturterm H_{kk}=-\frac{p^4}{4\mu^2 c^2 2\mu}
H=E gilt nur wenn, die WFs Eigenzustände des Hamiltons sind, die |Nljm> (im Skript auch mit |E> bezeichnet) sind aber nur Eigenzustände von H_0, d.h. um E auszurechnen muss man Störungstheorie 1.Ordnung verwenden: <Nljm|H_{kk}|Nljm>,…
3)Um sich nun <E|H_{kk}|E> auszurechnen drückt man sich \left(\frac{p^2}{2\mu}\right)^2 durch T^2=(H_0-V)^2 aus.
Finde ich eigentlich gut erklärt im Skript, vielleicht das einzige ist, dass man halt \frac{1}{r}\frac{d V}{d r}=\frac{Z \alpha_f \hbar c}{r^3} bilden muss.
Vielleicht könntest du noch etwas genauer werden, welcher Schritt das Problem ist.
Okay, ich versuch nochmal genauer zu erklären wo ich hänge.
ad 1) Die Herleitung für 3.55 (Hkk) kommt aus 3.56? Ich sehe irgendwie den Zusammenhang nicht, sind die Terme etwa gleich?
→ Wie hängen Hkk und dEkk zusammen?
ad 3) Auch hier den Frage nach dem Zusammenhang zw Hkk und dEkk? Wo steckt dieser „\left(\frac{p^2}{2\mu}\right)^2“ Term drinnen? Irgendwie seh ich das nicht.
ad 2) Ist mir jetzt klar, vielen Dank!
ad 4) Den Term 3.59 schaff ich auch noch, mein Problem liegt vor allem darin dass ich nicht versteh wie dEkk und Hkk zusammenhängen und wie ich überhaupt auf den Term dEkk komme.
Weiter unten bei Hls ist mir nicht klar wieso im Term 3.61 ein (2ls/h²) steht? Wo kommt das her? Und darunter habe ich Probleme die 3/4 in Term 3.62 zu finden - wo kommen die her?
Tut mir Leid, es sind ziemlich viele Fragen, ich durchschau diese Herleitung nicht wirklich
Ich schreib mal scheibchenweise, weil ich grad öfters kurz wegmuss …
ad 1)
Wenn du die rel. Energie-Impulsbeziehung umformst und die Wurzel entwickelst kommt die letzte Zeile von 3.56 raus … der zweite Term ist nichts anderes als die kin. Energie, der nächste Term mit P^4 ist aber schon interessanter … dass ist eben die relativistische Korrektur zur kin. Energie. Wenn du jetzt noch das \mu c^2 hineinmultiplizierst brauchst du nur noch den Bruch leicht umschreiben und kommst dann auf den Korrekturterm in 3.55.
Den Term H_{kk} kannst du jetzt noch so umformen, dass du die kin. Energie zum Quadrat (oder \frac{P^4}{(2\mu^2)^2} stehen hast, dass ist dann T^2, was dann mit H_0 - V ausgedrückt wird. Hat der Kollege oben schon erklärt, wieso.
Wie man auf dEkk durch explizite Rechnung kommt, oder wie? Du hast ja (H_0-V)^2 = H_0^2 - 2H_0 V + V^2 und musst eben die Erwartungswerte für die Potentiale bzw. das Quadrat davon berechnen, H0 spuckt ja nur den Energieeigenwert E0 aus.
ad1) Ja bei der Taylor-Entw. der relat. E-p Beziehung erhält man (ich sehe psk85 war schneller )
0.Ordnung: Ruhe-Energie \mu c^2 (tritt aber in H nicht auf, da es nur eine Energienullpunktsverschiebung bewirkt)
1.Ord: klass. kinetische Energie p^2/2\mu& eben
2.Ord. -\mu c^2\frac{1}{8}\left(\frac{p}{mu c}\right)^4 \Leftrightarrow H_{kk}
ad3) aus (3.54) H_0=T+V=\frac{p^2}{2\mu}-\frac{Z\alpha_f \hbar c}{r}\Rightarrow \frac{p^2}{2\mu}=T=H_0-V
Daraus folgt: -\frac{1}{2\mu c^2}\left(\frac{p^2}{2\mu}\right)^2=-\frac{1}{2\mu c^2}T^2\ \Leftrightarrow\ -\frac{1}{2\mu c^2}\left(H_0-V\right)^2.
Diese Umformung macht man, da man den Ewartungswert von p^4 nur schwer direkt berechnen kann (4-malige Differentation der WF).
Der Zusammenhang zw. dEkk & Hkk ist einfach der zwischen Korrektur-Hamilton und Korrektur-Energie (für entsprechende WF)
(Wegen zeitunabh. Störungstheorie 1.Ordnung).
ad LS-Kopplung) die 1/\hbar^2 wurden nur eingeschoben um <E|\frac{2\mathbf{l.s}}{\hbar^2}|E> dimensionslos zu machen, wird aber bei \Delta E_{ls} wieder hineinmultipliziert.
Die 3/4 kommen von 2ls=j(j+1)-l(l1)-s(s+1).
Da wir Spin-1/2 Teilchen haben ist s immer konstant 1/2 (ms={-1/2, 1/2}) und deswegen s(s+1)=3/4
ausgehend vom letzten Term -\frac{1}{4}\frac{p^2}{\mu^2 c^2}\cdot\frac{p^2}{2\mu} wollen wir das ganze irgendwie auf \frac{P^4}{(2\mu)^2} bringen, was dann eben Ekin^2 oder T^2 ist.
Heben wir also \frac{P^4}{4\mu^2} raus, bleibt noch genau -\frac{1}{2\mu c^2} übrig. Alles klar?
Alles klar! Deine Erklärung hat mir sehr geholfen, bin jetzt immerhin schon etwas weiter!
Somit komme ich bis inklusive 3.59 (ist sehr schön beschrieben was getan werden soll bis dahin) - hänge aber dann bei 3.61. Wo kommt das durch hquer² her? Warum ergibt sich daraus j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)? Wo kommt dann das 3/4 in 3.62 plötzlich her?
Die Eigenwerte der Spin-Quadrat-Operatoren haben alle ein h-quer^2 dabei - und dieses ist in der Rechnung einfach auf die andere Seite gezogen. Das l*s kommt aus dem Gesamtdrehimpuls J, da
So, ich danke euch beiden nochmal! Ihr habt mir sehr geholfen, ich komme jetzt bis zum DarwinTerm, diesen werde ich aber nicht mehr machen da er mathematisch sehr aufwendig ist, hoffe die Rechnung dafür wird nicht verlangt.
Eine andere kleine Frage hätte ich noch.
Im 4. Kapitel ist die Separationsenergie von N und P beschrieben. Im Absatz davor steht alle Zustände im Kern sind möglich wo der Q-Wert positiv ist. Sn/p:=-Q. Jetzt gibt es eine Skizze, (Zickzacklinien, Sn in Abhängigkeit von Z) wo bei magischen Zahlen die Sn besonders niedrig ist (N=82).
Das versteh ich überhaupt nicht. Weiter hinten steht magische Zahlen sind besonders stabil, weil ähnlich der Edelgaskonfig, halt Nukleonen. Deshalb kommen sie auch verhältnismäßig oft vor.
Okay, aber steht das nicht im Widerspruch zur Skizze? Dort steht ja - wenn Sn (besonders niedrig bei N=82) - dass der Bindungszustand eher schwach ist, im Gegensatz zu den anderen N.
Verstehe ich da was falsch? Wenn ja, was?
(Habe das Skript gerade nicht da, Entschuldigung falls die Beschreibung zu ungenau sein sollte!)
Hmm, stimmt schon so, wie du sagst. Vielleicht interpretierst du das Diagramm etwas falsch? Im Demtröder 4 auf S. 134 gibt’s ein Diagramm (5.27), da sieht man eindeutig die Maxima bei magischen Kernen.
Was den Darwin-Term angeht, den brauchst du garantiert nicht herleiten können … aber eben nicht vergessen, dass er nur auf S-Wellen wirkt wg. psi(0).
)