In ein wenig mehr als 4 Wochen ist es wieder soweit: Ana 2 Prüfung.
Ich würde dafür gerne eine Lerngruppe bilden, die gemütlich Richtung Prüfung zusammen lernt unter der Woche und mal alle Beispiele durchrechnet. Bei Interesse bitte PM oder Posten.
Hi, hätte Interesse daran und kenne noch zwei andere die da vielleicht mitmachen würden. Kann auch alte Prüfungen mitnehmen die wir dann gemeinsam durchrechnen können. Was hälst von einen Tag pro Woche (mehrere Stunden gleich damit es sich auszahlt), und ab 27ten dann öfter?
ich hab ein Problem bei folgendem Beispiel:
Berechnen Sie folgendes bestimmtes Integral mit Hilfe des Residuensatzes:
Integral( cos^2 (x) dx ) von 0 bis 2*Pi
Wie finde ich das das Res ?
Danke schon mal
Hallo Julia- ich denke die Vorgehensweise dürfte ähnlich sein zu jener aus der alten Prüfung (siehe https://forum.fstph.at/t/vorlesungspruefung-am-28-6/2184/1)
- z=e^(ix) => dx= dz/(iz); => cos(x)=[z+z^(-1)]/2
Somit bekommst du statt dem Integral cos²(x) dx von 0 bis 2pi ein Ringintegral im Komplexen Raum mit 1/4i * Ringintegral von (z+2/z+1/z³) dz - Du hast somit nun eine Polstelle erster Ordnung bei z=0 und eine Polstelle 3ter Ordnung bei z=0
- Die Integrale kannst du aufspalten, vergiss aber den Vorfaktor 1/4i nicht! Somit hast du zweimal den Residuensatz für alle Integrale mit Bruch und einen Wert gleich Null für das Ringintegral von z, dank Cauchy’schen Integralsatz (geschlossene Kruve, keine Singularitäten =>0)
Denke mal es müsste so stimmen. Als Wert sollte PI rauskommen.
#Cauchyintegral gibt Null.
1tes Residuenintegral: 2/4iRinginte. (1/(z-z0)) dz)=2pii*Res(f(z) …mit Summen usw. gibt Res=1 da keine Ableitung =>pi im Endeffekt
2tes Residuenintegral: 1/4i*… (1/(z-z0)^3)=… ergibt 0, da hier 1 zweimal nach z abgeleitet wird.
In Summe kommt somit PI heraus als Wert…
hey vielen dank,
werd mir das morgen mal so durchrechnen. hatte eh so einen ähnlichen ansatz, aber ich hoff morgen funktioniert das dann so! 
Achtung Leute- nicht vergessen das ihr euch für die obere ODER untere Halbebene entscheiden müsst bei den Residuen. Sollte es die untere sein, genügt vor dem 2pii… ein Minus zu stellen. Das kann dann hilfreich sein wenn in einer Ebene weniger Singularitäten sind als in der anderen und ihr somit auch weniger Rechenarbeit habt.
Deshalb wird beim f(x)=cos(x) / (1+x²) auch nur das Residuum bei z=i berücksichtigt, obwohl z=-i auch eine Nullstelle ist…
- I= Integral von cos(u)/(u²-u+5/2) du von -inf to inf. Mit einer Technik der komplexen Integration.
(1.a) Beispielklasse 2. I=Re{Integral von e^(iu)/(u²-u+5/2) du von -inf to inf.}
(1.b) Suche der Nullstellen: z²-z+5/2=0 => z1,2=1/2 +/- sqrt(-9/4) = 1/2 +/-i3/2
(1.c) Nur die Nullstellen in der oberen Halbebene werden berücksichtigt für das Residuum. zk = z1= 1/2 +i3/2
(1.d) I=Re{2piiRes z= 1/2 +i3/2 f(z)=… }
(1.e)Res z= 1/2 +i3/2 f(z)= 1!/1! lim z-> 1/2 +i3/2 * [e^(iz) * 1/(z-1/2-i3/2)]=1/[3e^(3/2)]e(i/2) * 1/i
=> I=Re{2pi 1/[3e^(3/2)]e(i/2)}=…
(1.f) Re{e^(i(1/2))=cos(1/2)+isin(1/2)}=cos(1/2)
=> I=(2/3)pi (cos(1/2) / e^(3/2))
Aufgrund aktuellen Anlasses Lösung der Aufgabe 2 von der Prüfung am 05.03.2013:
a) Das Gleichungssystem besteht aus den partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion F(x, y, z, \lambda), wobei
die Lagrange Funktion gegeben ist durch
F(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda \cdot \phi(x, y, z) = z + \lambda (xy + z^2-1)
( die Zielfunktion die minimiert/maximiert werden soll ist also z selbst - die z-Koordinate - unter der Nebenbedingung, dass diese Extrema von z auf der durch \phi(x, y, z) = 0 definierten Fläche liegen.)
was auf
(I) \lambda y = 0
(II) \lambda x = 0
(III) xy+z^2-1=0
führt. Lösung ergibt die stationären Punkte (x, y, z) = (0, 0, 1) bzw. (0, 0, -1).
Diese erhält man auch, wenn man die beiden Auflösefunktion h_{1,2}(x, y) = \pm sqrt(1-xy) bildet und dann die stationären Punkte durch \nabla h_1(x, y) = 0 bzw. \nabla h_2(x, y)= 0 bestimmt.
Bei c) muss man sich dann nur noch die Niveaumengen (Kontourlinien) von h_1 bzw. h_2 aufzeichnen (z.B. zum Niveau h_{1,2}(x, y)=0 bzw. h_{1,2}(x, y) = 1) und erkennt, dass die Punkte (0, 0, 1) und (0, 0, -1) jeweils zwei Sattelpunkte darstellen.
Hallo Leute, hier nochmals alle Angaben vom 11.10. an die ich mich erinnern kann, sowie teilweise auch die Lösungsschritte die ich gemacht habe. Ob diese richtig sind kann ich euch leider nicht sagen. Am besten selbst prüfen!
-
Gradient, Hessematrix, stationäre Punkte (+ihr Typ) und Taylorpolynom an (0,0) von f(x,y)=xye^(x²-y²)
(1.a) Gradient: d/dx f=ye^(…)+2x²ye^(…)=e^(…)[y+2x²y], d/dy f=…=e^(…)[x-2xy²] => gradf(0,0)=(0,0)
(1.b) Hessematrix= e^(…) (…, …, …, …) => detH(0,0)=-1<0 & H(0,0)=(0,1,1,0)
(1.c) stationäre Punkte entspr. gradf(x,y)=(0,0) => Fall y=0 => x=0; Fall y ungleich 0=> x imaginär. Also nur P1(0,0) als stat. Punkt und mit H(0,0)=> Sattelpunkt als Typ.
(1.d) Taylorpolynom vom Grad 2= f(0,0)+gradf*…+1/2*…H(0,0)… =xy -
Nahezu gleiches Beispiel wie im Juni: f(x,y)=x²+y²+z²=1; z=f(x,y) von 1); Auflösen nach z, also x(z), y(z) möglich? Tangentialvektor im Punkt (1,0,0)
(2.a) Sorry für alle die ich da das letzte Mal mit meiner Vermutung verwirrt habe. Richtig wäre gewesen:
f(x,y,z)=x²+y²+z²-1=0 somit ist die Bedingung (i) erfüllt für implizit. Differ.
d/dz f(x,y,z), ausgewertet an (1,0,0) ist gleich Null, da 2z=2*0=0 , somit WIDERSPRUCH zu Bed. (iii) => Kann nicht nach z aufgelöst werden.
(2.b) Tangentialvektor entspricht dem Gradienten an den Punkt. Also gradf(1,0,0)=(2,0,0) -
Symmetrischer Quader mit der größten Oberfläche. Begrenzt von der Kurve f(x,y)=x^4+y^6 und z=f(x,y) mit f(x,y)=1. Angabe der Lösungsgleichungen für die Eckpunkt ohne explizit zu lösen. Punkt (2,1,0)
(3.a) Oberflächenformel für Quader finden: 8*(xy+xz+yz)
(3.b) Nebenbedingung aufstellen: phi=x^4+y^6+z-1=0
(3.c) Testen ob grad phi(2,1,0) ist ungleich Null.
=> Alle Bedingungen für Lagrange erfüllt. F(x,y,z,lambda)=…
Dann Fx=0, Fy=0, Fz=0, Flambda=phi=0 hinschreiben. -
Normalvektor für obigen Punkt und Tangentialeben.
(4.a) Grad nötig. Normalvektor ist orthogonal auf grad an jenem Punkt. Somit war (X,Y,Z)*(32,6,1)=0 ausmultiplizieren, eine Variable frei Null setzen-> zwei sind voneinander abhängig und man kann einen Normalvektor angeben. DieTangentialeben ist die Taylorformel bis 1, also nur mit Gradient. T=…=32x+6y+z-64 -
Ist Summe (1/(1+k) *sin(kx)) von k=1 bis inf eine Fourierreihe im L²(-pi,pi)?
(5.a) Koeffvergleich bringt: bk=(1/1+k) , ak=0 => Ja. -
Aufspalten in Real und Imaginärteil ze^(kongkompl z)
(6.a) z=x+iy, z_=x-iy => e^z_=e^x * e[1]=e^x * (cos(-y)+ isin(-y))= e^x * (-cos(y) + isin(y))
(6.b) Alles ineinander einsetzen und Terme nach i… (=Imaginärteil) Realteil sortieren. -
Laurentreihe um z0=0 von f(z)= 1/(z-z^5). Residuum jener Reihe?
(7.a) allgemeine Laurentreihe aufschreiben
(7.b) die Funktion in f(z)=g(z)*h(z) aufspalten, wobei g(z)=1/z ist.
(7.c) Vergleich mit der Laurentreihe liefert: f(z)=h(z)*Laurentreihe um z0=0
(7.d) Residuum ist a-1. Vergleich von Laurentreihe mit g(z) liefert das a-1=1.
8 ) Jakobimatrix von f:IR²-IR und g: IR²- IR², der Komposition f o g.
(8.a) Definiere f=f(x1,x2); g=(g1(y1,y2), g2(…))
(8.b) Dw(y)=Df(g(y)) * Dg(y) =gradf* g’
- Cauchy´sche Integralformel
- Fourierreihe im L²(-pi,pi) + reelle Fourierkoeffizienten+ Parseval’sche Gleichung
- Eigenschaften eines inneren Produktes. Def. Hilbertraum. Was ist ein separabler Hilbertraum?
- Der linearen Operator F=Integral (s*x(s) ds) von 0 bis 1, im Raum (C[0,1], II.IIinf). Was ist dessen Lipschitzkonstante?
- Wann kann ein Tangentialvektor gebildet werden? (regulärer Punkt!), Wie sieht die Kurve aus wenn dies nicht der Fall ist?
- Integral 1/[2+cos(x)] von -*pi bis pi mit einer Technik aus der komplexen Funktionentheorie
… An mehr kann ich mich leider nicht mehr erinnern. Aber vielleicht fällt den anderen noch was ein die bei der Prüfung waren. Die Ergebnisse brauchen mind. 2 Wochen laut Aufsicht.
viel Glück noch mit euren Prüfungen!
lg. Manuel
i*(-y) ↩︎
Alles in allem war es meiner Meinung nach eine relativ schwere Prüfung. Da hat Herr Auzinger nicht seine humanste Seite gezeigt …
Hauptsache vorbei