Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel [Bearbeiten]
Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich.
Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der z-Achse verlaufen. Um das Integral
J = \rho\int_V (x^2+y^2),\mathrm{d}V
auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x,y,z und das Volumenelement dV durch die Kugelkoordinaten r,\vartheta,\varphi ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln
x=r\sin\vartheta\cos\varphi
y=r\sin\vartheta\sin\varphi
z=r\cos\vartheta
und der Funktionaldeterminanten
\mathrm{d}V=r^2\sin\vartheta,\mathrm{d}r,\mathrm{d}\vartheta,\mathrm{d}\varphi.
Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert
J=\rho \int_{0}^{R}!\mathrm{d}r,\int_{0}^{\pi}!\mathrm{d}\vartheta , \int_{0}^{2\pi}!\mathrm{d}\varphi ,r^4 \sin^3 \vartheta
Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und \varphi lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in
J=\frac{2}{5}\pi\rho R^5 \int_{0}^{\pi}\sin^3 \vartheta,\mathrm{d}\vartheta
kann durch partielle Integration mit
u=\sin^2 \vartheta
v^{\prime} = \sin \vartheta
gelöst werden:
\int_{0}^{\pi}\sin^3 \vartheta , \mathrm{d}\vartheta=\frac{4}{3}.
Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:
J=\frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3}\pi\rho R^5 = \frac{2}{5}\rho V R^2=\frac{2}{5}M R^2
/edit (Admin): Ich war so frei, die Tags für LaTeX zu setzen! (TeX Button rechts oben)