trägheitsmoment einer vollkugel

Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel [Bearbeiten]

Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich.

Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der z-Achse verlaufen. Um das Integral

J = \rho\int_V (x^2+y^2),\mathrm{d}V

auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x,y,z und das Volumenelement dV durch die Kugelkoordinaten r,\vartheta,\varphi ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln

x=r\sin\vartheta\cos\varphi
y=r\sin\vartheta\sin\varphi
z=r\cos\vartheta

und der Funktionaldeterminanten

\mathrm{d}V=r^2\sin\vartheta,\mathrm{d}r,\mathrm{d}\vartheta,\mathrm{d}\varphi.

Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert

J=\rho \int_{0}^{R}!\mathrm{d}r,\int_{0}^{\pi}!\mathrm{d}\vartheta , \int_{0}^{2\pi}!\mathrm{d}\varphi ,r^4 \sin^3 \vartheta

Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und \varphi lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in

J=\frac{2}{5}\pi\rho R^5 \int_{0}^{\pi}\sin^3 \vartheta,\mathrm{d}\vartheta

kann durch partielle Integration mit

u=\sin^2 \vartheta
v^{\prime} = \sin \vartheta

gelöst werden:

\int_{0}^{\pi}\sin^3 \vartheta , \mathrm{d}\vartheta=\frac{4}{3}.

Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:

J=\frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3}\pi\rho R^5 = \frac{2}{5}\rho V R^2=\frac{2}{5}M R^2

/edit (Admin): Ich war so frei, die Tags für LaTeX zu setzen! (TeX Button rechts oben)

Gib bitte um die TeX-Codes [ tex ] und [ /tex ] (ohne space).
Danke.

mh

ja danke vielmals habs einfach mal so übernommen und nicht mehr überprüft