Ich verstehe (c) nicht - wie kann man den Kommutator mithilfe der Spektraldarstellung berechnen?
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die Spektraldarstellung eines Operators die Matrixdarstellung bezüglich seiner Eigenbasis. Nun sind die Eigenbasen der beiden Operatoren aber nicht gleich (richtig?) und in welcher Darstellung soll ich jetzt \sigma_x\sigma_y explizit ausrechnen? Selbst wenn ich einen Operator auf die Eigenbasis des jeweils anderen transformiere, bekomm ich das Ergebnis doch nur in der dummen Eigenbasis und nicht in der Originalbasis |e_{1,2}>?
Die Angabe lautet „Berechnen Sie den Kommutator“, IMO steht da ja auch nichts von einer Darstellung des Kommutators. Ich bin noch auf nichts Einfacheres gekommen als ein paar Möglichkeiten, den Kommutator des Gesamtoperators als Kommutator von je zwei Projektoren zu schreiben, vielleicht solls ja das sein.
wieso 2 und nicht 4 Projektoren?
(Kommutator 1. Matrix von Spektraldarstellung von \sigma_x mal 1.Matrix von \sigma_y, 2. Matrix von \sigma_x mal 1. Matrix …)
Ich würde nebenbei dazu tendieren die Projektoren auszurechnen.
Ausgerechnet hab’ ich die Projektoren eh im ersten Beispiel. Nachdem die Summe der Projektoren einer Orthonormalbasis der Einheitsoperator ist (und ich mir erlaube, eine Orthonormalbasis anzunehmen - ansosten diagonalisier’ ich das halt abstrakt in 1a und schreib eine Tilde über jeden Namen), kann man P_1 - P_2 je nach Lust und Laune als \mathbb{1} -2 P_2 oder -\mathbb{1} + 2 P_1 schreiben, weshalb dann die anderen Kommutatoren alle wegfallen. Eingefallen ist mir das allerdings auch nur auf der krampfhaften Suche nach irgendeinem Weg, die Spektraldarstellung auszunutzen. Dass man das auf vier verschiedene Arten machen kann und damit noch ein paar lustige Kommutatorrelationen der Art [P_{x1},P_{y1}]=[P_{x2},P_{y2}]=[P_{y2},P_{x1}]=[P_{y1},P_{x2}] erhält nährt in mir aber den Verdacht, dass da wohl noch irgendwas anderes dahinter stecken dürfte, allerdings will mir die Lektion nicht ganz klar werden, weil ich zur Berechnung einer Darstellung immer noch die Darstellung von zwei Projektoren bezüglich der Einheitsbasis aufschreiben müsste, was ja auch nicht weniger Arbeit ist als direkt mit den Darstellungen der Matrizen aus 1a zu arbeiten.
Hier Bsp2 im Maple-Format bzw. für die, die kein Maple haben, als Plaintext exportiert. Nur bei (e) - „aus welchem Grund liefert Delta E in Ortsdarstellung 0“ - suche ich noch nach der Antwort, vielleicht kann mir wer nen Tipp geben?
Wenn \Delta E = \sqrt{\langle H^2 \rangle - \langle H \rangle^2} würde ich erwarten, dass du \frac{5i\hbar^2}{L^2 m} kriegst, was auch nicht berauschend ist, aber halt nicht 0. Der unmittelbare Grund dafür ist, dass H^2 nicht so funktioniert, weil H\psi \not \in \mathcal D_{H}. Das liegt daran, dass der Hamiltonoperator in dieser Darstellung auf einem endlichen Intervall nicht selbstadjungiert ist (Kreuzer, p54). In dem auf der selben Seite verlinkten Paper (http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0103153) ist das schön erklärt und vorgerechnet, inklusive der selbstadjungierten Erweiterung. Ich will am Freitag unbedingt drankommen, dann rechne ich das vor. Vor allem auf dem Satz „an dieser Stelle is es natürlich, eine wie folgt definierte Sesquilinearform einzuführen“ freue ich mich schon.
Diesen Grund hab ich auch gleich vermutet, aber ich bin mir noch nicht ganz im Klaren, warum
Wenn ichs in der Spektraldarstellung rechne, bekomm ich ein ganz ähnlich wie du, allerdings reell und mit sqrt(5) statt 5.
In der Ortsdarstellung bekomm ich allerdings die 4te-Ableitung, weil ich ganz intuitiv den d²/dx²-Operator von H auch einfach quadriert habe. Und die 4te Ableitung von Psi in Ortsdarstellung ist 0.
Ach wie schön, mein sqrt(5) beziehungsweise 5 i stimmen also.
Ja, eine vierte Ableitung bekommst du, jedoch nur bei und nicht bei **2 - hier quadriert man nur das Ergebnis der Ableitung. Dein Maple-Worksheet gibt dir ja auch das Ergebnis.
Naja, „stimmen“ ist relativ. Offensichtlich ist da ja irgendwas inkonsistent, nachdem \langle H^2 \rangle im Zustandsraum funktioniert, nicht aber in der (angegebenen) Ortsdarstellung, aber ich schaff’s gerade nicht, festzunageln, was das Problem ist. Irgendwie muss wohl die Darstellung ein Problem haben. Im Zustandsraum scheinen wir ja mehr oder weniger zu fordern, dass Definitionsbereich und Bildbereich des Operators übereinstimmen („an operator applied to a ket produces a ket“), im Ortsraum scheint das aber nicht zu gehen.
Ich glaub ich geb auf und dem Kreuzer Recht: Ich bin einfach zu blöd für Quanten und sollte es besser lassen, aber weil ich ich bin, kann ich es einfach nicht lassen, daher feuere ich mal gleich ein paar Fragen auf euch ab:
zum ersten Beispiel:
1.c: Ich hab das mal wie folgt angeschrieben:
[\sigma_x, \sigma_y]=[\frac{1}{2} x_1 -\frac{1}{2}x_2; \frac{1}{2
}y_1-\frac{1}{2}y_2]
spirch ich hab mal die die Spektraldarstellung aufgeschrieben. x und y mit Indices sind dabei jeweil die Projektoren des ersten/zweiten Eigenvektors der Matrizen \sigma_x und \sigma_y
Als nächstes habe ich 1/4 herausgezogen und den Rest als 4 Kommutatoren angeschrieben:
\frac{1}{4}([x_1, y_1]-[x_2, y_1]-[x_1, y_2]+[x_2, y_2]
So, jetzt hab ich das Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie ich in Tex Bras und Kets schreib, auch Vektoren kann ich leider nicht schreiben, daher wird das jetzt grauslich ausschauen.
Jedenfalls habe ich einzeln mit jedem Kommutatur folgendes gemacht:
[x_1,y_1]=x_1y_1-y_1x_1=Ket(\lambda_{x1})Bra(\lambda_{x1})Ket(\lambda_{y1})Bra(\lambda_{y1})-Ket(\lambda_{y1})Bra(\lambda_{y1})Ket(\lambda_{x1})Bra(\lambda_{x1})
In der Mitte von jedem Summand steht jetzt ein Braket, das ich ausrechnen kann, übrig bleiben zwei Matrizen, mit je einem Vorfaktor (einmal normal, einmal konjugiert komplex)
Das gleiche kann ich jetzt mit den anderen Kommutatoren auch machen. Dann sehe ich, dass folgendes gild:
[x_1, y_1]=-[x_1, y_2]^T. Gleiche Relation für die beiden anderen Kommutatoren
Jetzt kann ich den ursprünlichen Kommutator also als summe aus zwei verschiedenen Kommutatoren, und deren Transponierter schreiben. Hab ich da was davon. Das auszurechen ist ja voll mühsam. Das einzige was ich sehe ist, dass der Kommutator eine symmetrische Matrix sein muss.
Was habt ihr da bitte gemacht? Ad Thomas: Ich weiß leider nicht wovon du im etwa 3. Eintrag redest.
Kommen wir zu d:
Um die Matrixdarstellung von T zu berechnen, muss ich doch warscheinlich von links mit einem Bra und von rechts mit einem Ket draufgehen, wobei für T_{11} im Bra und im Ket jeweil e_1 steht und so weiter.
So weit noch richtig?
Kann ich diese Bras und Kets jetzt einfach behandeln, als würden sie im Exponenten stehen?
Wie gebe ich die Spektraldarstellung von H an?
Prinzipiell gilt doch:
A=\sum a Ket(a)Bra(a)
Die Eigenwerte von H kenne ich, wenn ich mich nicht irre. Sie müssten \frac{h^2k^2}{2m}sein.
Von den Eigenwektoren, die wohl die u sind, kenne ich aber nur die Projektion auf x. Wenn ich jetzt also tatsächlich Bra und Ket von u haben will, hab ich gedacht, dass man das vielleicht so macht:
H=\sum a \int dx \int d\tilde{x} Ket(x)Bra(x)Ket(u)* Ket(\tilde{x})Bra(x)Ket(u)
Da hab ich ja nur 2 Mal eine Vollständige 1 eingeschoben. Bra(x)Ket(u) kenn ich und kann ich vorziehen. Dann folgt
H=\sum a \int dx \int d\tilde{x} f(x)f(\tilde{x}) Ket(x)ket(\tilde{x})
Da mir das aber nichts nützt ist es wohl falsch, nehm ich an.
Verzweifelt um Hilfe bittend! (Ich hab keine Lust dem Kreuzer Recht geben zu müssen!)
Bras und Kets in TeX, ist allerdings ein wenig mühsam: \langle bra | bzw | ket \rangle → \langle bra | bzw | ket \rangle
Zu 1c) nochmal: Bezüglich einer Orthonormalbasis ist die Summe der Projektoren der Einheitsoperator (in der linearen Algebra ist das die Aussage, dass man jeden Vektor aus seinen Projektionen auf die Basis aufaddieren kann). Nachdem es nur diese beiden Projektoren gibt, ist jeweils P_i = \mathbb{1} - P_j.
Zu 1d): du kannst den Operator in Spektraldarstellung schreiben (also P_{1y} - P_{2y}). Die Hintereinanderfuehrung zweier unterschiedlicher Projektionen ist in einem Orthonormalsystem natuerlich immer 0, folglich verschwinden alle Mischterme aus der Potenzreihe. Mir bleibt wenn die Funktion ausgerechnet ist nur eine Linearkombination der Projektoren uebrig, also nehme ich deren fertige Matrixdarstellung.
2a) ist meiner Meinung nach ausgesprochen kurz, ich rechne da nicht viel. Was willst du denn als Ergebnis kriegen? Quanten Ue04.jnt (1).pdf (374 KB)
Danke für deinen Post. Bin das Beispiel noch nicht durchgegangen, aber du hast bei 1a in sigma x einen Vorzeichenfehler (oder eigentlich 2.: beide i haben anderes VZ)
Hrm. Du hast recht. Das wird jetzt ca tausend Vorzeichenaenderungen weiter unten nach sich ziehen, aber es erklaert, warum ich ewig lang beim Berechnen der Kommutatoren ueber die Spektraldarstellung genau das negative Ergebnis zur direkten Berechnung hatte. Danke!
Jetzt versteh ich endlich wovon du die ganze Zeit gefaselt hast. Ich bin bei der Matrixschreibweise geblieben, statt, was sehr intelligent ist, die Eigenvektoren in Einheitsvektoren umzuschreiben. Dadurch, dass ich in Matrixschreibweise geblieben bin, war ich natürlich auf eine Basis fixiert. (Ich hätte mehr auf den Balasin hören sollen der immer Basisfreiheit prädigt). Dadurch konnte ich nicht sagen, dass die Summe der Projektoren 1 ist, und in d konnte ich dadruch natürlich auch nicht sofort sagen, dass P1*P2 Null ist (was du ja beim Auflösen der Klammer verwendest), und es ergibt sich auch nicht so schön, dass P^n=P, was man in deiner Schreibweise sofort sieht. (Bin gar nicht sicher, ob das in jeder Basis gilt, muss aber wohl)
Beim Beispiel 2 war mein Problem, dass ich Bra und Ket u explizit aufschreiben wollte. Du hat es einfach als Ket(u)*Bra(u) stehen lassen.
Danke für deine Rettung! Ich hätte sonst wohl den Samstag Abend damit verbracht die Beispiele nicht lösen zu können, und es trotzdem immer weiter zu versuchen. Ich hätte das nie hinbekommen. → Vielen, vielen Dank K
Irgendwie dürftes du immer noch vereinzelte Vorzeichenfehler in deiner Rechnung haben. Außerdem bin ich mir von ein paar Sachen nicht sicher, ob du sie „sauber genug“ gerechnet hast. Manchmal kann ich allerdings nicht sagen, ob du einfach Zwischenschritte im Kopf gemacht hast, oder ob du nicht gemerkt hast, dass du sie brauchst. (z.B. ((P_1-P_2)^n. Da müsste man erst zeigen, dass alle gemischten Terme wegfallen. Da man das aber ohnehin leicht sieht, warst du dir dessen vermutlich ohnehin bewusst. Andere aber vielleicht nicht )
Wir haben die Ortsdarstellung von H |psi> gegeben, wer sagt uns das wir daraus auf HH|psi> schliessen dürfen. Wenn man nur mit dem gegebenen rechnet:
(<psi| H)(H | psi>)
und natürlich lauter vollständige 1 einschiebt um in den Ortsraum zu gelangen, kommt man auf das richtige Ergebnis. Die Klammern sollen andeuten, dass man über zuerst H auf |psi> anwendet, dann einmal hermitisch konjungiert und über das Produkt mit H|psi> integriert.
PS: für alle die die Bracket schreibweise in Tex zu mühsam finden, wenn man unter dem Eingabefenster vor „HTML in diesem Beitrag deaktivieren“ ein Häkchen setzt, kann man die Symbole ><| von der normalen Tastaturbelegung verwenden.
hallo!
eine kurze (und wahrscheinlich ziemlich blöde) Frage zu der Lösung von der vorigen Seite.
Haben nicht die Eigenvektoren von \sigma y genau umgekehrte Vorzeichen von i?
bzw. wieso soll, wenn es x=-iy heißt, der Vektor e_{1y}= \frac{1}{ \sqrt{2} } (1,i) sein?
Danke schon mal im Voraus!
lg
)
