Hi!
weiß vl. irgendwer wie man das bei dem 11Bsp mit dem Entwickeln mit Legendrepolynomen machen soll?
ich würd cos Theta einfach P1 setzen aber das is wohl nit das wahre 
und mit der Entwicklungs Formel im EDYN Skript komm ich auch nicht recht weiter…
und gehe ich recht in der Annahme das das Feld das rauskommen sollte r und Theta abhängig sein sollte??
Thx für hoffentlich zahlreiche Antworten
lg L
Hi, also mit cos\theta =P1 liegst du schon ganz richtig.
Jetzt läufts im Prinzip genauso wie das Beispiel aus der vorherigen Übung
Nur wenn du jetzt die Divergenz vom E-Feld ausrechnest (also wieder \delta (r-a) (E+ - E-) =4 \pi * \rho , dann liefert ja die Deltafunktion in \rho nur was für P1= 0
Das heißt das im Potenzreihenansatz für E alle P’s rausfallen außer die \partial P, weil die von P1 ja gleich 1 sind und somit konstant
und da ja nur die P1 relevant sind (weil cos\theta halt mal P1 ist), sind auch nur die Ableitungen von P1 interessant. Also kriegst du dann nur noch eine Gleichung für die a1 Koeffizienten.
Die a1 und b1 dann in E eingesetzt ergibt die Lösung
Lg Stefan
Ich kann die Erklärung oben nicht ganz nachvollziehen. Ja, \cos(\theta) ist P_1(\cos(\theta)). Meiner Meinung nach ist \delta(\cos(\theta)) aber trotzdem eine unendliche Reihe von Legendrepolynomen in \cos(\theta), nämlich \delta(\cos(\theta)) = \sum_l \frac {2l + 1} 2 P_l(0)P_l(cos(\theta)).
Wie reduziert sich das auf nur einen Beitrag?
Ich seh da kein Problem. Dass es eine unendliche Reihe ist, hindert mich ja nicht daran die Koeffizienten zu vergleichen, immerhin sind die P _{l} \left( 0 \right) bekannt.
Ich halte es auch nicht für ein Problem, wenn man eine Reihenentwicklung des Feldes sucht. Allerdings behauptet der Vorposter:
dann liefert ja die Deltafunktion in \rho nur was für P1= 0
Das heißt das im Potenzreihenansatz für E alle P’s rausfallen außer die \partial P, weil die von P1 ja gleich 1 sind und somit konstant
Und das kann ich nicht nachvollziehen.
hi allerseits!
mit freundlicher Genehmigung von Stefan Hummel und ein ganz ein bisserl haben auch wir was getan widme ich euch hiermit bsp 10&11
sorry dass es erst so spät kommt bin grod erst heimkommen- aber besser spät als nie- so jetz spann ich euch a nimmer lang auf die folter
I proudly present
edyn_ue4_bsp10&11.pdf (257 KB)
An der Lösung zu Bsp 11 finde ich zwei Dinge verdächtig: Erstens ist das E-Feld skalar, zweitens werden im Ergebnis Terme mit unterschiedlichen Dimensionen aufaddiert. Und den Schritt, wo aus dem P1(cos(theta)) = 0 folgt, dass alle P_l 0 sind, den verstehe ich immer noch nicht.
Okay, das mit der Dimension ist sicher falsch.
Erklärung dazu di P1 ist nicht 1 sondern -1 / r sin(Theta) eThetai da Theta = Pi /2
→ di Pi1 = -1 / r eThetai
Im Ergebnis ist dann der 2. Term noch durch -r zu dividieren
Warum aus delta(cos(Theta)) folgt P1=0? - Weil P1 = cos(Theta) und damit delta nicht 0 ist, muss cos(Theta) = 0 → P1=0
Was ich denke, was sicher falsch ist, ist die 2+3 Zeile auf der 2. Seite. In manchen Termen ist kein eri (Vektor) drin und dann gehört die linke Seite noch mit eri multipliziert. Wenn das geschehen wäre, würde man sehen, dass in der 5. Zeile genau die falschen 2 der 4 Terme der linken Seite übernommen wurden, weil eri mal di Pi ist sicher 0.
Damit stimmen die Koeffizienten nicht.
Mir kommt raus: b1 = 4 Pi Lamda / (3 a) und a1 = 4 Pi Lamda a² / 3
Zum 10er Bsp: Warum ist der Fluss durch die Fläche nicht gleich dem Fluss durch die Kugelkarlotte mit gleichem Öffnungswinkel?
und eri * erj = 1?? - bei mit ist eri * erj = delta ij
Sonst find ich seine Parametrisierung nur merkwürdig
Sorry, weil ich den Formeleditor nicht check. Wenn dem Admin fad ist, kann er meinen Beitrag umbauen, so dass es für alle leserlicher wird. (aber ich hoffe man versteht es trotzdem)
Dass P_1(\cos(\theta)) =0 das gleiche wie \cos(\theta) = 0 ist, ist mir schon klar. Aber auf dem Zettel steht (uäh…)
\sum_{l=0}^\infty a_l(l+1)P_lr^{-l-2}-a_l \partial_i P_l r^{-l-1} + (-a_l} \frac{l+1} l P_l r^{l-1} a^{-2l-1} - a_l \frac{l+1} l \partial_i P_l r^l a^{-2l-1} = 4\pi \varrho
Soweit ja noch okay, modulo Fehler. Aber \varrho = \frac{4\pi\lambda} a \delta(r-a)\delta(\cos(\theta)) = \frac{4\pi\lambda} a \delta(r-a) \sum_l \frac {2l + 1} 2 P_l(0)P_l(cos(\theta)). Wieso verschwinden da jetzt irgendwelche Terme (außer die für ungerade l, wo P_l(0) = 0 gilt)? Kann es sein, dass ihr \delta(P_1(\cos(\theta)) mit \delta_{l1} verwechselt?
wo ist der unterschied? P1(cos(Theta)) = cos(Theta)
→ delta(P1(cos(Theta))) = delta(cos(Theta))
Ich glaub, du kennst dich da besser aus wie ich. Was check ich da nicht?
Also meiner Meinung nach ist das was der Thomas da stehen hat schon die Lösung (für alle l, nicht nur für l=1). Könnte jetzt bitte wer die Lösung des 12.Bsp posten?! - oder bin nur ich zu blöd das auszurechnen 
Hier findest du das 12er Bsp: Ist das selbe wie letztes Jahr
Habe von Hernn Hummel soeben ein Mail erhalten
"Hi an alle. In Bsp. 10 dürft sich ein Fehler eingeschlichen haben. Muss ich nochmal nachrechnen. Aber zur Beruhigung. Man kann dieses Ding ja auch als Kugelkalotte rechnen und davon halt nur den Teil in z-Richtung nehmen. Also quasi so wie im Plenum.
Wer es dennoch (auf die brave Tour) über den Kreis rechnen möchte, muss sich halt ein bisschen mit den Vektoren herumschlagen (wo dann schließlich auch mein Fehler in der Rechnung passiert ist). Ich jedenfalls werds heute noch korrigieren. Ich kann ja dann eventuell noch die korrigierte Version verschicken (jedoch nur als verbale Erklärung da ich keinen Scanner hab)
Schönen Abend noch
Stefan"
Das ist der vom Schweda ganz oft (und komplett unverständlich) zitierte Unterschied zwischen den Deltas der Orthogonalität und der Vollständigkeit.
\int_{-1}^1 P_l(x), P_{m}(x) dx= \frac 2 {2l+1} \delta_{lm} ist die Orthogonalitätsrelation. Das ist die Art Delta, die schön wäre, weil dann die Entwicklung wie vorgeschlagen kollabiert - \sum_l \delta_{l1} P_l(\cos(\theta)) = P_1(\cos(\theta)).
\delta(\cos(\theta)) ist aber das kontinuierliche Delta der Distributionstheorie, das in unserem Fall als \delta(\cos(\theta)) = \frac{\delta(\theta - \pi/2)}{|\sin(\theta)|_{\theta=\pi/2}} = \delta(\theta - \pi/2) geschrieben werden kann. Die Entwicklung wird in diesem Fall zu \sum_l \delta(\cos(\theta)) P_l(\cos(\theta)) = \sum_l P_l(0), hat also weiterhin unendlich viele Glieder.
(Edit: Der Absatz über die Exponentialfunktion, der hier früher noch dran stand, war dann eher Blödsinn, sorry.)
Nachtrag:
edyn_bsp070330_.pdf (1.15 MB)