hey zu 1,b,
a_n= \frac{1}{2-a_{n-1}} und a_0=-1
wenn du dir die ersten paar Folge-Glieder ausrechnest siehst du:
a_1=\frac{1}{3}, a_2=\frac{3}{5}, a_3=\frac{5}{7}, a_4=\frac{7}{9}… etc
Man sieht, dass oben die ungeraden Zahlen durchlaufen, unten ebenso, nur um 2 verschoben.
Mit a_n=p/q, p=1,3,5,7,9,11… für n=1,2,3,4,5,6… und q=3,5,7,9,11,13… für n=1,2,3,4,5,6… vermutet man a_n= \frac{2n-1}{2n+1}
das überprüfst du ganz einfach mit vollständiger Induktion
Induktionsanfang: n=1
a_n= \frac{21-1}{21+1}= \frac{1}{3}
Induktionsannahme: a_n= \frac{2n-1}{2n+1}
Induktionsschritt: n → n+1
Es gilt a_n= \frac{1}{2-a_{n-1}} also a_{n+1}= \frac{1}{2-a_n}
Nun benutzt du die Induktionsannahme/voraussetzung und bekommst:
a_{n+1}= \frac{1}{2-a_n}=\frac{1}{2- \frac{2n-1}{2n+1}} du erweiterst einfach im unteren Bruch und bekommst
\frac{1}{2- \frac{2n-1}{2n+1}}=\frac{1}{\frac{2*(2n+1)-(2n-1)}{2n+1}}
= \frac{2n+1}{(4n+2)-(2n-1)}=\frac{2n+1}{2n+3}
edit: äh aja das ist dann genau dein Ergebnis, dass du dortstehen haben möchtest.
Das zeigt dir nämlich genau, dass auch der (n+1)te Term/Folgenglied deinem vermuteten Gesetz gehorcht.
sorry falsches BSP ^^