Hi!
Wollte nur fragen, ob der Auzinger etwas von einer „Vorbereitungsstunde“ erwähnt hat, also eine Stunde wo er erwähnt welche Defintionen wichtig sind und was alles relevant für die Prüfung ist? Meines Wissens hat er das ja in der Vergangenheit öfters gemacht!
Danke im Voraus !
hey 
ja morgen, von 9 bis 10 anstatt ana-vorlesung. macht ein tutor eine prüfungsvorbereitung
Hallo Leute,
Ich wollte fragen ob ihr hier hineinschreiben könntet was in der Vorbereitungsstunde alles durchgemacht wurde. Habe den Eintrag erst leider viel zu spät gesehen und kan deswegen leider nicht kommen.
Wäre echt super, wenn ihr das gesagte hier nochmals niederschreiben könntet.
Vielen Dank im Voraus,
lg. Hofi
Hallo 
Hat wer von euch prüfungen durchgerechnet und könnte vlt die Lösungen online stellen? Würde gerne vergleichen ob meins stimmt…
Danke schon mal
der tutor hat eigentlich nur die paar typen von reellen integralen, die man mit dem residuensatz berechnen kann, erklärt und dazu beispiele gerechnet. ziemlich wahrscheinlich dass sowas kommt, der auzinger hats ja selbst auch schon angedeutet
bin gerade selber am durchrechnen, falls ich was gscheites zamkrieg stell ichs gerne rauf…wennst schneller vergleichen willst, kannst ja deine raufstellen und ich rechne sie parallel und sag dir dann, was ich rauskrieg
Hi Leute, vielen Dank für die Antwort auf meine Frage.
Somit bleibt wohl der Trend bei:
Gradient/ Taylorpolynom / Punkte bestimmen
Lagrange Multiplikator
Abschätzung nach Fixpunktsatz
3 Typen der Residuuenintegrale
für die Beispiele. Wobei die Angabe oftmals zuerst unverständlich klingen mag, aber sobald man die Kategorie erkennt, es sich hoffentlich zuordnen lässt.
Und für die schriftlichen Fragen:
Lt. Prüfung am 05.03: Definition impliziter Funktionen, Banachraum + Beispiele dafür, aus beschränkt-> stetig, Laurentreihe, ist es komplex differenzierbar (CR-DGL aufstellen), Def. von Frechetableitung, Jakobi und Co aus dem 1ten Kapitel, …
Und laut Freunden von mir die die Prüfungen an unterschiedlichen Terminen zuvor gemacht haben: die Formeln für Residuum, Satz von R.F. + Bessel, Parseval., Fourierreihe, Hilberträume + Beispiele, Fixpunktsatz, und viele weitere…
Natürlich sind dies alles nur Vermutungen, aber es lässt sich doch ein Trend abzeichnen bei Analysis II. Uff, noch viel zu tuen also heute…
Ich wünsche euch allen noch viel Glück morgen und schöne Ferien!
liebe Grüße, Manuel
Unter anderem sind zur Prüfung am 28.06 gekommen:
komplexe Integration, DEF
Invertierbarkeit mittels Jakobimatrix (regulär)
Abschätzung ob die Reihe Summe(K=0 bis unendl) {1/Wurzel K * cos kx} eine Fourierreihe im l² raum ist. (k=0 würde schon unendlich geben)
Auswertung von Integral (-pi bis pi) {sin²(x)*cos(x)dx} mit einer Methode der komplexen Integration
Die Kurve f(x,y)=x²+y^4, f(x,y)=1 soll ein achsenparalleles Rechteck eingeschrieben werden mit max. Flächeninhalt (Ellipse), nur Gleichung zu lösung aufschreiben, nicht explizit lösen.
Bei einen Integral welches von 0 bis t ging soll die Stetigkeit bewiesen werden (beschränkt durch Grenzen > Stetig nach Li.) und die Lipschitzkonstante angegeben werden (aus MWS der Integralrechnung)
Weiter sollte die komplexe Diff. von IuI²*u getestet werden (CR- DGL.)
Sowie weitere Beispiele und Unterpunkte zum 1. Kapitel mit Tangentialebene, (Tangentialvektor ?), Taylorpolynom vom Grad 2 (grad + Hesse ergab "xy"), Aussage über die vorkommenden Punkte bei f(x,y)=xy(1-x²-y²).
Die lokale Auflösbarkeit nach z=f(x,y), f(x,y)=xy*(1-x²-y²) und x²+y²+z²=1.
Und eine Tangentialebene für ein weiteres f(x,y) erstellen und den Normalvektor darauf bilden (orthogonalität n_vektor*ebenenvektor=0)
Weiter fällt mir noch die Komposition f o g und g o f für f:R²-R und g:R-R² ein. Schreiben Sie die Jakobimatrix dazu auf.
Und zu den obigen Beispielen die singulären Punkte, Sattelpunkte und weitere finden.
Und irgendwas war noch mit der Parsevalschen Gleichung. Wann die Fourierreihe stetig konvergiert glaub ich…
An mehr kann ich mich leider derweil nicht erinnern, aber vielleicht ergibt sich ja ein Sammeltread, oder einer von denen die ne Prüfung mitgenommen haben stellen diese rein. Viel Glück noch fürs nächste Mal Leute und schöne Ferien!
1.a) f(x,y)=xy*(1-x^2-y^2) Gesucht: Gradient, Hessematrix, Stationäre Punkte und Taylorpolynom um (0,0)
1.b) Kurve definiert druch x^2+y^2+z^2-1=0 und f(x,y) aus a.). ist das system lokal um (1,0,0) nach x(z) und y(z) auflösbar? bestimmen sie den tangentialvektor and die implizit definierte kurve im punkt (1,0,0) (was meiner meinung nach nicht möglich war, da df/d(x,y) singulär war)
2.a) durch x^2+y^2=1 ist eine Kurve im R2 gegeben. gesucht war das gleichungssystem, dessen lösung das flächengrößte rechteckt innerhalb dieser kurve war (Zielfunktion war 4xy und NB x^2+y^4-1=0) Zusatzfrage: hat die so impliziert definierte kurve singuläre punkte?
b.) tangentialebene an die fläche f(x,y) aus a.) im Punkt (1,2,f(1,2)). Normalvektor auf diese Fläche
3.a) Integral von sin(x)^2cos(x) von -Pi bis Pi.
3.b) ist die funktion f(u)=/u/^2*u differenzierbar? wenn ja, war die ableitung gesucht. (war nur an x=y=o differenzierbar)
4.) - Stetigkeit und Lipschitzkonstante eines Operators bezügich der Unendlichnorm waren zu bestimmen
ich denke es war bis auf wenige ausnahmen (1.a) 9 (!!) stationäre punkte für eine 2,5 Punkte aufgabe… -.-) eine sehr humane prüfung.
Wäre toll wenn jemand die Lösungen online stellt.
Steh immer voll bei den impliziten Funktionen an 
LG mc
1.a)
#f(x,y)=xy*(1-x^2-y^2) Gesucht: Gradient, Hessematrix, Stationäre Punkte und Taylorpolynom um (0,0)
(1) grad f(x,y)=(y*(…)-2x²y, x*(…)-2xy²
(2) Hf(x,y)=(fxx,fxy,usw.)=(-6xy,(…)-2(x²+y²),(…)-2(x²+y²),-6xy)
(3) stationäre Punkte für grad f(x,y)=0
Möglichkeiten: (A) gradf1=y*(1-x^2-y^2)-2x²y=0; (B) gradf2(f=x*(1-x^2-y^2)-2xy²=0
(A): x=0, y=+/- 1; (B): x=+/-1, y=0; => P1(0,1), P2(0,-1), P3(1,0), P4(-1,0) sind mögliche stationäre Punkte.
(4) Typen jener Punkte: detH=36x²y²-[(…)-2(x²+y²)]²=… egal welchen Wert man einsetzt, dank x oder y gleich Null ist det (H) immer kleiner Null! => hyperbolische Punkte
(5) Taylorpolynom: kommt morgen dazu, sowie der Rest der alten Tests soweit ich diese lösen kann/ Zeit finde…
Ist damit nicht gemeint:
1)
(i) F(x,y,z)=x²+y²+z²-1=/Ausgewertet an (1,0,0)/=0
(ii) …
(iii) d/dx F=/Ausgewertet an (1,0,0)/=2; ungleich Null und somit erfüllt
(iii,2te Variante) d/dy F=0; NICHT ERFÜLLT.
=> kann nur nach x(z) aufgelöst werden: dh/dz (x,y)=- dF/dz / dF/dx
Dann würde ich aber zu x’(z=0)=0 kommen. HIER BIN ICH MIR NICHT SICHER, was denkt ihr darüber?
2)Der Normalvektor ist der Gradient, also 2*(x,y,z) ausgewertet an (1,0,0) => n=(2,0,0)
Der Tangentialvektor ergibt sich somit zu t*n=0 => t =(0,s,t); s,t € IR{0}
f(x,y)=xy4, da es vier symmetrische Teilbereiche gibt
Die Nebenbedingung lautet: phi=x²+y²-1=0, da die Eck-Punkte nebenbei noch auf dem Kreis (x²+y²=r²) liegen müssen.
Für die Anwendung der Lagrangedefinition muss getestet werden ob grad phi ungleich Null. grad phi=2*(x,y) ist ungleich (0,0) => passt.
Somit folgt F(x,y,lambda)=4xy+lambda(x²+y²-1); Als nächstes d/dx F=…, d/dy F=…, usw.
Folgt: x²=y²=1/2. Da nur relle Werte einen Sinn machen, ist x=y=1/4 und die maximale Rechteckfläche=1/4
Real- und Imaginärteil von cosh(z):
*Integral von -pi bis pi von: sin²(x)cos(x)dx
Dies wäre gleich Null (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin^2%28x%29+*+cos%28x%29+from+0+to+pi)
Nun wäre meine Vorgehensweise dass ich z=e^(ix), dz= izdx => dx=(1/iz) *dz, cos(x)=1/2 * (z+z^(-1) ) setze, sin²(x)cos(x)=cos(x)-cos³(x)=…=
(1/2)[(z+1/z] - 1/8[z³+3z-3/z+1/z³], somit folgt das Integral 1/8i * Ringintegral um C von (1+z²+1/z²+1/z^4);
wobei die Nullstellen für 1/z² und 1/z^4 bei 0 liegen und die Ordnung der Pole m=2 bzw. m=4 ist.
Jene mit Brüche folgen dem Cauchy´schen Residuensatz mit (d/dz)^(m-1) (1) in beiden Fällen werden die Residuen null.
Die Cauchy´schen Integrale (1& z²) werden auch null. Daher gesamt Null, was mit Wolfram Alpha übereinstimmen würde.
Wie habt ihr das gelöst, oder welche Methode würdet ihr verwenden?
lg. Manuel
Hallo!
Ich habe das Integral (sin²xcos x) von -Pi bis Pi auch gerechnet. Ich verwende kein Additionstheorem, sondern setzte für sin² einfach auch [(z-1/z)/2] ein und für den cosinus denselben Ausdruck nur mit plus statt minus und ohne Quadrat. Wenn man das dann ausmultipliziert (den Nenner, den Zähler muss man nicht unbedingt ausmultiplizieren), erhalte ich einen Nenner mit 8z^4*i. 8i ziehe ich vors Integral, bleibt also bei z=0 ein vierfacher Pol. Das setzt man in die Residuenformel ein, wenn ich da dann die 3. Ableitung bilde (wenn man den Zähler nicht ausmultipliziert hat, erhält man bei der ersten Ableitung eine Produktregel, ab dann nur noch Polynome), bekomme ich für diese 80z^3-…-12. Wenn ich das also ins Residum einsetze, bekomme ich -2 heraus. Mein Integral ergibt sich somit zu Pi/2.
Damit also die Frage:
-) Ich habe nur einen Polpunk, nämlich bei z=0 einen 4fachen und mein Integral wird auch nicht null.
Gib mir bitte Bescheid, was du von meinem Ergebnis hältst!
Ich habe die beiden Terme halt zusammenmultipliziert, vielleicht hast das du nicht gemacht bzw. weil du das Theorem verwendest, sodass du eine Differenz zweier Cosini reinbekommst, bekommst du zwei Pole?
Aber ja, Wolfram Alpha ergibt irgendwie 0.
Grundsätzlich ist es aber definitiv diese Beispielklasse.
LG
Soweit dürfte alles passen, aber irgendwo hast du dich anscheinend verrechnet denke ich. Zumindest kommt bei mir überschlagsmäßig:
-1/(8i)[z²- 1 - 1/z² + 1/z^4] heraus. Also zwei Polstellen. z²-1 fasse ich als f(z) zusammen und per CauchyÍntegralsatz wird dies Null. Die beiden Residuen werden auch Null, da du ja zumindest einmal ableitest von [d/dz] z-z0f(z)=(z²1/z²)=[d/dz] 1=0 bzw. das gleiche für (z^4 (1/z^4))=1.
Ob man nun die Summenformel verwendet oder ncht sollte eigentlich nichts am Ergebnis ändern.
Was ich noch fragen wollte- kann jemand von euch ein paar sauber gerechnete Beispiele zur implizierten Diff. online stellen, bzw. zu den Wahr/ Falsch Fragen? Da stellt es mich immer wieder auf und die Punkte könnte ich gut gebrauchen beim Test…
schlaft noch alle gut,
mfg. Manuel
Hallo,
Zur zusatzfrage beim lagrange: ist mit die so implizit definierte Kurve einfach die lagrange Funktion gemeint? Oder die schnittkurve der haupt- mit der Nebenbedingung und ob der schnitt der beiden dann singuläre Punkte hat. Für den ersten Fall sind die singulären pkte ja einfach die lösungspkte. Was war gemeint? War das system zu lösen?
Und beim 1b mit dem auflösen leitet man die zwei Funktionen ja nach x und y ab und dann erhält man ja eine 2x2 Matrix. Deren determinateam Pkt 1,0,0 ist =0 und damit ist die Auflösung nicht möglich oder?
Der normalvektor ist der gradient oder? Kann der normalvektor in dem Pkt immer angegeben werden oder nur, wenn die Auflösung möglich ist?
Bitte um Antwort:))))
Einefrage hab ich noch, a la Columbo. Das bsp 2 ist ein 2d bsp, du die tangential ebene berechnet sich ja über die Formel mit dem Gradienten. Ist der gradient dann dertangentialvektor, weil die partiellen Ableitungen an die Kurve ja die ebene aufspannen. Dann könnte man mittels kippregel den normalvektor Bestimmen.
Oder ist diese ebenengleichung aus dem skriptum im R2 nicht anwendbar?
Eines verwirrt mich leider. Der gradient steht ja (zumindest auf implizit gegebene) ebenen normal, ist er aber dann hoffentlich nicht genau der Richtungsvektor für die tangential ebene?
Nachdem das was ich hier zuvor geschrieben habe ziemlicher Blödsinn war, wollte ich nur mal korregieren das abc recht hat. Es war die Parameterisierung nach z gefragt, daher x(z),y(z). Da jedoch die Ableitung nach z an dem gesuchten Punkt Null ergibt, ist es nicht möglich! Fast genauso kam das Beispiel dann im Oktober 2013 (siehe jenen Forumeintrag…)
Lasst euch aber in diesen Fall nicht von einer komplizierten Funktion z=f(x,y)=xy(1-x²-y²)ln(x)…usw. oder dergleichen verunsichern. Wenn ihr den Wert von z0 gegeben habt, müsst ihr nur die andere Funktion ableiten, nicht mehr z=…, weil ihr dann ja gleich den Wert für z wisst und einsetzen könnt.
Wichtig beim Aufspalten in Real und Imaginärteil: z=x+iy, cos(-y)=-cos(y), e^z=e^x * (cos(y) + i*sin(y)) usw. daher kann ein Sinus im Realteil stehen, ein cosh im Imaginärteil und vieles mehr. Aber wenn ihr einmal das Schema habt, gehen alle solchen Beispiele ziemlich schnell. Nur bei der prüfung unbedingt kontrollieren, da sich durch das Terme verschieben und ausklammern schnell Fehler einschleichen können. Mehr findet ihr bei Wahr/ Falsch in diesem Unterforum, oder Prüfung Oktober.
mfg. Hofi
Hat jemand das integral (theata+z)^2 : (theta) nach theata entlang der geschlossenen Kurve tau berechnet? Das ist nämlich nicht mittels klasse1 erlaubt, da das zählerpolynom einen höheren grad als das nennerpolynom hat. Polynom dividieren ist halt mal nötig, wie macht ihr dann weiter?
Hallo Vitronius, du hast vergessen zu erwähnen dass man durch theta-z dividiert und nicht nur durch theta. Und das z ein beliebiger fester Punkt ist, welcher nicht auf der Kurve, jedoch entweder innerhalb oder außerhalb liegen kann.
Liegt z außerhalb, so erhält man mit der Cauchy´schen Integralformel Ringintegral ist gleich Null. Falls z innerhalb liegt, hast du eine Singularität im Gebiet und wendest die Residuenformel für Nullstelle bei theta=z an. Also Wert des Integrals= 2pii Res theta=z von (f(theta)) =8pii *z².
mfg. Manuel