Hier mal die Angabe für die 6. Übung.
tutorium6_angabe.pdf (39.9 KB)
Hat wer einen Plan zu 6.2?
6.1, a):
Kreis: x^2+y^2\leq4
Radius: r=2
Geg: \int_Frot b{\cdot}dA
=\int_F\nabla\times b{\cdot}dA=\int_F\begin{pmatrix}{\partial x}\ {\partial y}\ {\partial z}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}{-y}\ {x}\ {0}\end{pmatrix} \cdot dA=\int_F2dA
Parametrisierung durch Polarkoordinaten:
x=rcos\varphi
y=rsin\varphi
Flächenelement mittels Funktionaldeterminante:
det{\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}}=det\begin{pmatrix}{cos{\varphi}}&{-rsin{\varphi}}\{sin{\varphi}}&rcos{\varphi}\end{pmatrix}=r
\rightarrow dA=rdrd\varphi
\int_F2dA=\int_0^{2\pi}\int_0^22rdrd\varphi=8\pi
6.1,b)
Geg: Kurvenintegral \oint_Cb\cdot ds=\oint_C\begin{pmatrix}{-y}\ {x}\ {0}\end{pmatrix}\cdot ds
diesmal wieder mit x^2+y^2=4
Parametrisierung der Kurve:
x=2cos{\varphi}
y=2sin{\varphi}
ds=infinitesimale Änderung der Kurve im Punkt \varphider Parametrisierung also:
ds=\begin{pmatrix}{-2sin{\varphi}}\ {2cos{\varphi}}\ 0\end{pmatrix}\cdot d\varphi
Parametrisierung einsetzen in das Integral liefert:
\oint_C\begin{pmatrix}{-y}\ {x}\ {0}\end{pmatrix}\cdot ds=\int_0^{2\pi}\begin{pmatrix}{-2sin{\varphi}}\ {2cos{\varphi}}\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{-2sin{\varphi}}\ {2cos{\varphi}}\0 \end{pmatrix}\cdot d\varphi=\int_0^{2\pi}4sin^2{\varphi}+4cos^2{\varphi}d{\varphi}=\int_0^{2\pi}4d{\varphi}=8\pi
Ok, 6.2 a.b):
Transformation zwischen Kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten:
x=rsin{\theta}cos{\varphi}
y=rsin{\theta}sin{\varphi}
z=rcos{\theta}
Die Jacobi Matrix beschreibt die Eigenschaften der Koordinatentransformation, siehe Wikipedia „Kugelkoordinaten“
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=\begin{pmatrix}{sin{\theta}cos{\varphi}}&{rcos{\theta}cos{\varphi}}&-rsin{\theta}sin{\varphi}\{sin{\theta}sin{\varphi}}&{rcos{\theta}sin{\varphi}}&{rsin{\theta}cos{\varphi}}\{cos{\theta}}&-rsin{\theta}&0 \end{pmatrix}
Für den Metrischen Tensor multipliziert man jetzt die Spalten der Matrix, also für g_{11} 1. Spalte mal 1. Spalte usw.
g_{11}=sin^2{\theta}cos^2{\varphi}+sin^2{\theta}sin^2{\varphi}+cos^2{\theta}=…=1
usw…
Dann kommt man auf:
g_{12}=g_{21}=0
g_{13}=g_{31}=0
g_{23}=g_{32}=0
g_{22}=r^2
g_{33}=r^2sin^2{\theta}
Also die Matrix:
g_{ij}=\begin{pmatrix}{1}&{0}&0\{0}&{r^2}&{0}\{0}&0&{r^2sin^2\theta} \end{pmatrix}
Inverse also:
g^{-1}_{ij}=\begin{pmatrix}{1}&{0}&0\{0}&\frac{1}{r^2}&{0}\{0}&0&{\frac{1}{r^2sin^2\theta}} \end{pmatrix}
Punkt c hab ich noch nicht.
Ich beginne einen neuen Post für 6.1) c) bin mit den Beispielen noch nicht ganz durch…
Es ist wieder ein Kreis mit Radius 2 gegeben, diesmal in der Komplexen Ebene.
|w|=2 also w=2e^{i \varphi}
Man soll berechnen: \oint_C \frac{w}{w^2-w-12}dw
Ich will jetzt erstmal das Integral ohne Residuensatz lösen.
Also mache ich eine Partialbruchzerlegung von \frac{w}{w^2-w-12}
Der Nenner hat die reellen Nullstellen 4 und -3 also hat \frac{w}{w^2-w-12} Polstellen bei 4 und -3 (wichtig für Residuensatz)
PBZ: \frac{w}{w^2-w-12}=\frac{A}{w-4}+\frac{B}{w+3}
A=\frac{4}{7}
B=\frac{3}{7}
\rightarrow \frac{w}{w^2-w-12}=\frac{\frac{4}{7}}{w-4}+\frac{\frac{3}{7}}{w+3}
Integral lässt sich also schreiben als:
\oint \frac{\frac{4}{7}}{w-4}+\frac{\frac{3}{7}}{w+3}dw
mit dw=2ie^{i \varphi}d \varphi
\int_0^{2\pi} \frac{\frac{4}{7}}{2e^{i \varphi}-4}2ie^{i \varphi}d \varphi +\int_0^{2\pi}\frac{\frac{3}{7}}{2e^{i \varphi}+3}2ie^{i \varphi}d \varphi=
\frac{4}{7}i \int_0^{2\pi} \frac{2e^{i \varphi}}{2e^{i \varphi}-4}d \varphi +\frac{3}{7}i \int_0^{2\pi}\frac{2e^{i \varphi}}{2e^{i \varphi}+3}d \varphi=
\frac{4}{7}ln(2-e^{i \varphi})|_{0}^{2\pi}+\frac{3}{7}ln(3+2e^{i \varphi})|_0^{2\pi}=0
Aber eine Nullstelle der Funktion befindet sich bei w=0, innerhalb des Integrationsbereiches, müsste deshalb nicht das Ergebnis nach dem Residuensatz 2\pi i lauten?
Edit: 0 ist richtig.
Wenn jemand Fehler findet bitte sagen.
@gwd bei 1.a warum is deine funktional determinante verschwunden ?
Ah habs gesehen danke… habs ausgebessert
bei der Partialbruchzerlegung hast du einen Fehler gemacht. Bei mir : A= 4/7 B=3/7
@gwd:bei 6.1c-f warum willst das mit residuensatz rechnen ? ich habs mit der cauchyschen integralformel gelöst… und da kommt mir auch 2pi i raus bei c.
Wo habt ihr den Kreis aufgenommen? Kreismittelpunkt im Koordinatenursprung (0,0), und Radius 2. Aber dann sind die Nullstellen(-3,4) außer der Kurve C, dann ist das Integral 0, oder?
Ja, die Cauchysche Integralformel ist ja ein Spezialfall des Residuensatzes…
Die Polstellen sind bei -3, 4.
Die 0 Stelle ist bei w=0.
@apti: hast recht dann muss das integral null sein 
kommt raus wenn ma sich denkt -3 is kleiner als radius 2 aber sichs net grafisch anschaut was das bedeutet
Hast Recht, habs geändert. Danke sehr.
Ich glaub, du hast einb verkompliziert. es ist einfach 0, laut Ana II skriptum (Seite 176)
Hab jetzt das Skriptum nicht zur Hand ich schau es mir dann zu Hause nochmal an.
Aber wenn es 0 ist könnte meine Rechnung ja stimmen, das Problem ist, ich glaube es kommt 2i\piraus… oder?
Übrigens wenn jemand noch Lösungen hat kann er die gerne posten, wäre dankbar. 
Wenn ich mich nicht verrechnet hab, kommt bei beiden residuen 0 raus, dann wird zwar 2pi*i drauf multipliziert, is aber immer noch 0.
vorausgesetzt meine Rechnung stimmt
wolfram alpha sagt auch 0 
Hier mein 6.4b
Kann das so stimmen?
Hat das jemand noch so?
Lg
Ja, es kommt 2pi*i raus, die Residuen sind beide nicht 0 sondern 3/7 bzw 4/7. Allerdings tut das nichts zur Sache, weil beide Polstellen außerhalb der Integrationsgrenzen sind und somit ihre Residuen nicht mitsummiert werden.
Wir haben also 02pii=0.
Ok.
6.3) Satz von Green
a) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
z.z.: \oint_Cf(z)dz=\oint_Cb_1\cdot ds+i\oint_Cb_2\cdot ds
b_1=\begin{pmatrix} u \ -v \end{pmatrix}
b_2=\begin{pmatrix} v \ u \end{pmatrix}
Parametrisierung der Kurve C
x=rcos\varphi
y=rsin\varphi
ds=b_2=\begin{pmatrix} -rsin\varphi \ rcos\varphi \end{pmatrix}
\rightarrow \int_0^{2\pi}\begin{pmatrix} u \ -v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -rsin\varphi \ rcos\varphi \end{pmatrix}\cdot d\varphi+i\int_0^{2\pi}\begin{pmatrix} v \ u \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -rsin\varphi \ rcos\varphi \end{pmatrix}\cdot d\varphi=…
=\int_0^{2\pi}r(-usin\varphi -ucos{\varphi})d\varphi+i\int_0^{2\pi}r(ucos\varphi -vsin{\varphi})d\varphi=*1
\oint f(z)dz mit z=re^{i\varphi} also \rightarrow dz=ire^{i\varphi}
dz=ire^{i\varphi}=(ircos\varphi -sin{\varphi})d\varphi
Also: \oint f(z)dz=\int_0^{2\pi}(u+iv)(ircos\varphi -sin{\varphi})d\varphi=
\int_0^{2\pi}r(-usin\varphi -vcos{\varphi})d\varphi+i\int_0^{2\pi}r(ucos\varphi -vsin{\varphi})d\varphi=*2
*1=*2
Wenn jemand andere Lösungen hat bitte hochladen
der Vollständigkeit halber die Beispiele 1c-f (kann gut sein dass was falsch is, aber der Rechnungsweg sollte grundsätzlich stimmen).
1c-d: http://imgur.com/4M8zKiD
1f: http://imgur.com/z0tmUPp
https://www.youtube.com/watch?v=_3p_E9jZOU8
das würd ich empfehlen falls wer von Verständnisproblemen geplagt wird zu dem Thema.