Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie WS25/26 Latex Mitschrift + Prüfungsbericht

[Derivator]

Ich hab eine Latex Mitschrift zur Vorlesung vom Balasin geschrieben: https://github.com/frey-ciel/ART-WS25

Zur Prüfung:

Prüfungszeit: ca 1 Stunde

Wir waren zu weit. Jeder hatte eine Tafel zur Verfügung und uns wurden abwechselnd Fragen gestellt. Während der eine über seine Frage nachdachte, hat der andere dem Balasin die Antwort zu seiner Frage geliefert. Es war ausgesprochen angenehm, da man so wirklich Zeit zum Nachdenken hatte. Er geht immer auch selbst etwas die Vorlesung durch und stellt dann dazu Fragen. Wir haben beide eine 1 bekommen

Meine Prüfungsfragen:

• Def. Dualraum

• Welche Operationen machen den Dualraum zu einem Vektorraum?
  AW: Addition & Skalarmultiplikation hinschreiben

• Wie zeigt man, dass er ein Vektorraum ist?
  AW: Abgeschlossen Addition & Skalarmultiplikation und Vektorraumaxiome durchspielen; Es hat gereicht (phi+psi)(v+w)= (phi+psi)(v)+(phi+psi)(w) und (lambda*phi)(v)=lambda*(phi)(v) hinzuschreiben

• Definition linear unabhängig

• Definition Linearkombination

• Wie ist eine Basis definiert?
  AW: maximal linear unabhängiges System

• Zeigen, dass ein maximal linear unabhängiges System ein Erzeugendensystem ist (der Beweis mit Fall 1: v \in M, Fall 2: v \notin M)

• Wie kann man v mit der Basis schreiben?
  AW: v=v^aE_a

• Können wir lineare Funktionen eindeutig durch ihre Wirkung auf Basiselemente beschreiben?
  AW: ja → satz mit (E_a)_{a\in I}, (\phi_a)_{a\in I} \in Gamma => \exists! \phi in V^\sim: \phi(E_a)=\phi_a
  Beweis davon

• Gibt’s eine eindeutige Identifikation mit Funktionen aus dem Dualraum und den Basisvektoren aus V?
  AW: e^alpha(E_beta)=\delta^alpha_beta
  Für dimV<\infty ist das eine Basis des Dualraums. (kein Beweis davon)

• Warum das Kronecker-Delta?
  AW: weil es die neutralen Elemente des Vektorraums sind und wir so beide über dieselben Zahlen sprechen

• Def. Tensorprodukt

• Def. Tensorproduktraum

• Wie haben wir gezeigt, dass V \subseteq V\sim\sim?
  AW: man kann wegen \Phi_{v+w}=\Phi_{v}+\Phi_{w} die Addition in V mit der Addition in V^\sim\sim identifizieren. Selbiges für die Skalarmultiplikation. Daher können wir über v(\phi)=\Phi_v(\phi)=\phi(v) den Vektorraum V mit seinem Doppeldualraum identifizieren

• Mit welchem raum stimmt Multp,q(V, V^\sim, \Gamma) überein?
  AW: (q,p)-Tensorproduktraum

• Übergang Newton zu Einstein: Masse kürzt sich im Gravitationsfeld → schwaches Äquivalenzprinzip (im gleichen gravitationsfeld bewegen sich objekte unabhängig von der masse).

• Kürzt sich die Masse auch bei der elektrischen Kraft?
  AW: nein, da die Masse dort nicht vorkommt

• übergang zum aufzug gedanken experiment, wenn der aufzug abstürzt fällt er der person im aufzug nicht auf den kopf, da person und aufzug unabhängig von der masse gleich schnell fallen. → starkes äquivalenzprinzip (ein kräftefreies bezugssystem kann lokal nicht von einem frei fallenden unterschieden werden). hier gilt: 0=m*\dot\dot x => x(t)=\dot x_0 t + x_0 (objekte bewegen sich auf Geraden).

• Wegen sich Planeten auf Geraden?
  AW: auf Geraden im gekrümmten Raum

• Gerade im flachen Raum an Tafel malen, mit Anfangs- und Endpunkt und zwei Kurven zeichnen, die diese Punkte verbinden. Was ist eine Gerade?
  AW: wenn die Tangentialvektoren der Gerade parallel sind und es die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten ist

• Wo liegen die Geraden auf einer Kugel?
  AW: auf Großkreisen, diese sind Schnitte der Kugeloberfläche mit Ebenen, die durch den Mittelpunkt gehen.

• Was ändert sich bei der Parallelverschiebung im R^n nicht?
  Die Richtung des Vektors, der Betrag des Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren, die gemeinsam parallelverschoben werden.

• Er hat auf dem Äquator an zwei Punkten zwei Vektoren aufgezeichnet, die jeweils im rechten Winkel aufeinander stehen. Einer davon zeigte jeweils nach oben und der andere nach rechts. Großkreise einzeichnen, auf denen diese Vektoren parallelverschoben werden.
  AW: Großkreise, die sich im Nordpol treffen

• Wenn man sich nun auf die Kugeloberfläche setzt, sieht die Umgebung für sich lokal flach aus. Wenn zwei Personen beim Äquator starten und geradeausgehen, werden sie sich aufgrund der Geometrie im Nordpol treffen. Was würde Newton stattdessen dazu sagen?
  AW: sie werden aufgrund der Kraft angezogen

• Wie kann man die Tangentialräume auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit in Verbindung setzen?
  AW: kovariante Ableitung → definition davon aufschreiben

• Wie kann man Krümmung charakterisieren?
  AW: Krümmungstensor → Anwendung auf ein Vektorfeld hinschreiben [\nabla_a,\nabla_b]v^c= R^c_{dab}v^d

• Warum können wir statt dem Kommutator den Tensor hinschreiben?
  AW: da man aufgrund des Satzes von Schwarz Skalarfelder aus [\nalba_a,\nabla_b](fv^c) herausziehen kann

Prüfungsfragen meines Kollegen:

• Def Topologie

• Was bringt die Topologie?
  Da wollte er hauptsächlich die Konvergenz haben, aber Stetigkeit wollte er später auch

• Definition Konvergenz und Stetigkeit
  Wichtig war Unterscheidung der Inversen und der Urbildfunktion mit Anwendung der Urbildfunktion auf die gesamte Topologie

• Wie ist Konvergenz bei der diskreten und indiskreten Topologie?

• Wie haben wir die initiale Topologie eingeführt? Was ist das?

• Wie ist sieht die initiale Topologie zu einer Einbettung aus? (Spurtopologie)

• Definition Mannigfaltigkeit

• Def. Homöomorphismus

• „1 zu 1“ Relation von offenen Mengen im Ur- und Bildraum bei homeomorphismen zeigen. „Topologisch nicht unterscheidbar“ war gut zu sagen

• Kommutierendes Diagramm von Mannigfaltigkeit mit zwei Karten und dem Kartenwechsel.

  Darstellung vom Kartenwechsel durch homeomorphismen und Übertragung der Stetigkeit erwähnen

• Def C^k bzw C^\infty Mannigfaltigkeiten (wobei C^\infty zB. für Skalarfelder benötigt wird)

• Herleitung Lorentztransformation ohne der konstanz der Lichtgeschwindigkeit: wie kommt man zum Ansatz der linearen Transformation? Wichtigste Eckpunkte von der Herleitung daraus (also wie die Unbekannten Funktionen bestimmt werden) nennen.