Teil 1:
Das ist mit den R, R’ ist auch „Physiker-Notation“. Dabei bezeichnet phi(…,R,…,R’,…) einerseits die Funktion phi „an sich“, wobei die Variablen mit …,R,…,R’,… bezeichnet werden, sobald man einen expliziten Ausdruck hinschreibt. (Ein „Funktion“ phi an sich kennt eigentlich keine Variablennamen.)
Andererseits den Funktionswert phi(…,R,…,R’,…) und drittens einen Ausdruck für phi, in dem man bereits R und R’ geschrieben hat.
Beispiel: Sei phi die Funktion reelle Funktion „quadriere“. Das ist
phi = (x |-> x^2)
aber auch (y |-> y^2) oder (Hugo |-> Hugo^2). Eine feste Bezeichnung für Variablen ist nicht vorgegeben.
Trotzdem schreiben Physiker (und auch Mathematiker) oft „die Funktion phi(x)“ anstatt „die Funktion phi“, und das meint „die Funktion phi, wobei ich im Folgenden die Variablen mit x bezeichne“.
Ganz verwirrend wird es dann, wenn es auch noch Verkettungen mit anderen Funktionen oder Operatoren gibt. Dann driftet die Notation der Physiker komplett von der Notation der Mathematiker ab. Zum Beispiel kann phi(x) eine Funktion bezeichnen, aber phi(k) dann nicht einfach nur dieselbe Funktion mit neuem Variablennamen, sondern die Fourier-Transformierte von phi, die man dann an Wellenvektoren auswertet. Mathematiker bezeichnen dann die Funktion phi neu (zB. als phi^, „phi-Dach“), aber in der Physik geschieht das typischerweise nicht…
(Darauf weist Fließbach in einem seiner Physikbücher hin, ich glaube, es war im E-Dyn-Buch.)
Dementsprechend ungut ist dann auch die Notation für Ableitungen, wenn man schreibt
dphi/dx (x).
Denn die Funktion phi kennt natürlich kein „x“. Die Variablen mit x zu bezeichnen ist ja nur eine der vielen Möglichkeiten.
In dphi/dx (x) kommt das x leider gleich in mehrfacher Bedeutung vor:
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x als gewählte Bezeichnung für eine Variable, also phi = (x |-> x^2), nach der abgeleitet wird. Besser - aber aus historischen Gründen nicht üblich - wäre es gewesen, nicht eine „Ableitung nach x“ zu definieren, sondern eine „Ableitung nach der 1. Variable“. Da man im 18. und 19. Jahrhundert aber hauptsächlich mit „niedergeschriebenen Ausdrücken“ wie x^2 rechnete und noch keinen rigorosen Funktionsbegriff hatte, hat sich leider die Bezeichung d/dx eingebürgert. Wenn man nur eine einzige Variable hat, dann ist phi’ eine brauchbare Notation für die 1. Ableitungsfunktion.
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x als Stelle, an der die Ableitung ausgewertet wird. Dabei hat man die Ableitungsfunktion phi’ gebildet (ggf. partielle Ableitung) und betrachtet den Funktionswert phi’(x) der Ableitungsfunktion an der Stelle x.
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x als Variable der abgeleiteten Funktion in Physikernotation: phi’(x) bezeichnet dann oft auch „die Funktion phi’, wobei ich die Variablen im Folgenden mit x bezeichne“.
Ich selber arbeite bei solchen Fragestellungen, wo es nicht um Details der Analysis geht (zB. ob Ableitungen existieren) lieber mit den Differenzialen dphi oder überhaupt mit dem „Tangentialfunktor“ T, der dann ein Tphi liefert mit Anschlussstelle (Fusspunkt) als erster Variable, Richtungsvektor für Zuwachsrichtung als zweiter Variable, und im wesentlichen das Differenzial liefert, aber den Fußpunkt mitschleppt.
Das ist geometrisch das Sauberste.
Physiker bleiben aber oft lieber bei den Ableitungen, denn die können sie sich besser vorstellen als „Differenziale“ als Linearformen.
In Teil 2 komme ich zur Formel (1) im Skriptum als Taylorreihe.
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Da mir das Forum hier keine weitere Antwort erlaubt, muss hier leider auch Teil 2 hinein, den ich aus Längengründen gerne separat geschrieben hätte. Na dann.
Teil 2:
Für eine Funktion f, eine Anschlusstelle x und einen Zuwachsvektor h lautet die Taylorreihenentwicklung
f(x + h) = f(x) + df(x) (h) + 1/2 d^2f(x)(h,h) + … + 1/k! d^kf(x)(h,…,h) + …
Merksatz: „Eins durch k-Faktorielle mal k-tem Differenzial“. Die Zuwachsvektoren h werden in den höheren Differenzialen symmetrisch eingesetzt.
df(x) (h) ist eine Kurznotation, in der bereits Klammern weggelassen wurden. Die genaue Aufgliederung ist:
df … das Differenzial von f
df(x) = (df)(x) … das Differenzial von f, ausgewertet an der Anschlussstelle x. Das ist eine lineare Funktion Zuwachsvektor → Funktionswert(vektor)raum.
df(x) (h) = (df(x))(h) = ( (df)(x) )(h) … das Differenzial von f, ausgewertet an der Anschlusstelle x, und mit Zuwachs h genommen.
Analog ist das bei den höheren Differenzialen.
d^k f … k-tes Differenzial von f
d^kf(x) = (d^k f)(x) … k-tes Differenzial von f, ausgewertet an der Anschlussstelle x
d^kf(x)(h,…,h) … k-tes Differenzial von f, ausgewertet an der Anschlussstelle x, und mit den Zuwächsen h,…,h genommen.
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Jetzt der Clou: Die Taylorreihen-Entwicklung für Anschlussstelle x und Zuwachsvektor h schreibt sich aber auch:
f(x + h) = f(x) + (h . \nabla) f(x) + 1/2 (h . \nabla)^2f(x) + … + 1/k! (h. \nabla)^kf(x) + …
Hier ist h . \nabla das innere Produkt von h und dem Differenzialoperator \nabla. In Komponenten ist das
h^i \partial / \partial x^i
wobei ich dann hier ebenfalls zum Problem gelange, die Variablen irgendwie bezeichnen zu müssen, obwohl die Funktion selber gar keine Variablennamen kennt.
Die Potenzen (h . \nabla)^k bedeuten einfach k-mal hintereinander diesen Differenzial-Operator (h . \nabla) anwenden. h ist dabei ein konstanter Vektor ohne Ableitung.
Das kam früher in der VO Analysis 2 für TPH explizit in dieser Formelform so vor, vielleicht jetzt nicht mehr.
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Sobald man die Taylorreihenentwicklung hat, hat man eine Funktion, die von den Variablen x und h abhängt, also eigentlich
(x,h) |-> f(x+h) = …
Jetzt kann man in diese Taylordarstellung der erhaltenen Funktion auch für die Variablen x und h etwas anderes einsetzen, also die erhaltene Taylorreihendarstellung verwenden, um damit die Funktion (x,h) |-> … formelmäßig zu erfassen.
Und genau das geschieht hier in Formel (1).
Man hat zunächste eine Funktion phi. Mit dieser wird die potenzielle Energie gebildet als Funktion gebildet, die aber von mehreren Variablen abhängt und als Verkettung von Funktionen geschrieben wird, nämlich als Summe von Potenzialen von Paaren R, R’
Für ein einzelnens Paar hat man die Funktion
(R,R’) |-> 1/2 . phi(R-R’)
Hier kommt dann Physiker-Notation mit hinein: Diese Funktion kennt natürlich keine Variablennamen. Trotzdem bezeichnet hier phi(R-R’)/2 nicht nur den Funktionswert, sondern die gesamte Funktion.
Nun wird über alle solchen Paare der Gleichgewichtslagen von Kernen summiert.
Hier wäre es natürlich besser gewesen, die Kerne einfach durchzummerieren: K1,K2,K3,K4,…
den Kernen Positionen zuzuweisen R(K1), R(K2),…
schließlich Kernpaare zu bilden K(i,j) = {Ki, Kj)
und Paarpotenziale
Kerne x Kerne → relle Zahlen
(Ki, Kj) |-> phi( R(Ki) - R(Kj) ) /2
und über alle Kernpaare zu summieren.
oder Zahlenpaare verwenden:
Kernbezeichnungen x Kernbezeichnungen → reelle Zahlen
(i,j) |-> phi( R(Ki) - R(Kj) ) /2
Es gibt natürlich auch Literatur, die Paarpotenziale in so einer Notation durchexerziert, zB.
Ruelle: „Statistical Physics. Rigorous Results“.
Die Physikernotation im Absatz vor Formel (1) meint bei E_pot = auch genau soetwas: Summiere über alle Kernpaare und verkette phi mit der Differenz der Kernpaarpositionen.
Es ist nur anders hingeschrieben, nämlich mit dieser komischen Bedeutung von R,R’, die einerseits als Summandenvariablen vorkommen, andererseits als Positionen von Kernen und drittens als Argumente einer verketteten Funktion.
Der Ausdruck
E_pot = 1/2 \sum_{R, R’} phi(R-R’)
ist hier also „inhaltlich“ zu verstehen: Summiere über alle Kernpaare, betrachte deren Positionen, wobei die Position des ersten Kerns mit R bezeichnet wird, jene des zweiten Kerns mit R’, und verkette phi der Positionsdifferenz.
Das liefert eine Funktion, die man als
(…, R_i,…) |-> E_pot(…,R_i,…)
schreiben könnte und wo hier gerade mal die Position des i-ten Kerns mit R_i bezeichnet wurde.
Diese Funktion hängt von allen Kernpositionen als Variable ab.
Jetzt kommt eine weitere Umbezeichnung: Die großen R bezeichnen die Gleichgewichtslagen und die u die Abweichung der tatsächlichen Kernposition von der Gleichgewichtslage. Und zwar für jeden Kern.
Man müsste also eigentlich schreiben:
R_i … Gleichgewichtsposition des i-ten Kerns
r_i … tatsächliche Position des i-ten Kerns
u_i … Abweichung des i-ten Kerns aus seiner Gleichgewichtslage,
r_i = R_i + u_i
Die verschiendenen u_i denkt man sich als eine Funktion u im ganzen Raum fortgesetzt und zwar so interpoliert, dass u(R_i) = u_i.
Dieses u heißt auch „Verschiebungsfeld“. Diese Bezeichnung kommt aus den kontinuierlichen Medien, wo jeder Körperpunkt aus seiner Ursprungslage R in einen Ort r(R) verschoben wurde (im Punkt r(R) platziert wurde) und u(R) := r(R) - R
ist dann eine Funktion aller Körperpunkte.
Hier werden aber nur diskrete Kernpositionen betrachtet, nicht kontinuierliche Körperpunkte.
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Nächster Schritt:
Taylorentwicklung der verketteten Funktion (*)
(r,r’) |-> phi(r-r’)
(bitte obige Zeile zweimal lesen und durchdenken)
an der Anschlusstelle (R,R’) und mit Zuwachs (u,u’).
Dann gilt
phi(R+u - (R’+u’)) = phi( (R-R’) + (u-u’))
Man bekommt die Taylorentwicklung der verketteten Funktion (*), indem man die Taylorreihenentwicklung der
Funktion phi (ohne Verkettung!) nimmt,
Anschlusstelle R-R’
Zuwachsvektor u-u’
phi( (R-R’) + (u-u’) ) = phi(R-R’) + dphi(R-R’) (u-u’) + 1/2 d^2 phi (R-R’)(u-u’, u-u’) + … = …
oder mit der Nablanotation:
… = phi(R-R’) + ( (u-u’) . \nabla) phi (R-R’) + 1/2 ( ( u - u’) . \nabla)^2 phi (R-R’) + …
Jetzt setzt man in diese erhaltene Taylorreihenentwicklung ganz am Schluss, wenn alle Differentiationen fertig ausgeführt wurden, noch für u,u’ die Werte u(R), u(R’) ein, also die Werte des Verschiebungsfeldes.
Dann hat man die Entwicklung des Potenzials für EIN einziges Paar.
Um auf das gesamte E_pot zu kommen, muss man dieselbe Prozedur für alle Kernpaare durchführen, für R,R’ die Gleichgewichtspositionen des Kernpaares nehmen und alle Paarpotenziale entwickelt aufsummieren.
Das ergibt Formel (1).
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Und jetzt noch zur Physikernotation: Diese ist hier in Formel (1) inhaltlich und nicht formal zu lesen, nämlich von links nach rechts als:
+) Summiere über alle Kernpaare (i,j) ,
+) betrachte deren Paarpotenziale phi(r_i - r_j),
+) entwickle die Paarpotenziale nach Taylor für die Anschlusstellen R_i, R_j und die Zuwächse u_i, u_j
+) setze für die Zuwächse u_i die Werte des Verschiebungsfelds ein u_i = u(R_i)
Die Summe hier wird physikernotatorisch nicht über Kernbezeichnungen (i,j) genommen, sondern "über R,R’ ". Wenn man so möchte wird die erste Kernbezeichnung i gar nicht extra bezeichnet und die zweite Kernbezeichnung j mit einem Strich ‚. Statt R_i, R_j steht dann R,R‘ und statt Summe über Paare von Kernbezeichnungen i,j nimmt man "Summe über alle Paare von Positionen R,R’ ".
