[HILFE] AX=XJ

261 Technische Physik (Bac.) Lineare Algebra für TPH
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Hallo,

meine Frage beziehst sich auf „Corresponding generalized eigenvectors“
ich bin dabei mir von einer Matrix die Eigenvektoren und Hauptvektoren auszurechnen. Soll dann im Anschluss X angeben damit AX=XJ erfüllt ist. (A= Koeffizentenmatrix, X=Transformationsmatrix, J=Jordansche Normalform)

Manchmal geht es ganz problemlos, und man kann einfach die gefunden Vektoren in J und X einspeisen und es ist erfüllt, manchmal muss man sie aber speziell wählen um die Bedinung zu erfüllen. Das sind dann die „Corresponding generalized eigenvectors“. Aber ich weiß nciht iwe ich auf die komme.

EIn Beispiel dazu wäre:

A= \begin{pmatrix} 2 & -2 & -3 \ -1 & 3 & 3 \ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}

der Eigenwert ist 1 mit der algebraischen Vielfachheit 3 und geometrischen Vielfachheit 2 → habe einen Hauptvektor.

den Eigenvektor berechne ich und erhalte: v=s*(2 1 0)^T + (3 0 1)^T

der Hauptvektor dazu wäre bei mir dann h=(1 0 0)^T


Um aber nun AX=JX zu erfüllen brächte ich die Vektoren:

u1=(0, 1, -2/3)
u2=(-3, 3, -3)
u3=(0, 0, 1)

das weiß ich durch wolfram alpha.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors+{{2,-2,-3},{-1,3,3},{1,-2,-2}}

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+form+{{2,-2,-3},{-1,3,3},{1,-2,-2}}

kann wer was dazu sagen?

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ihr müsst die Links zu Wolfram Alpha kopieren. da hat was nicht funktioniert mit dem hyperlink.

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So des Rätsels Lösung ist, dass du eine Linearkombination deiner beiden Eigenvektoren zum Hauptvektor bilden musst (der Hauptvektor gehört ja zu beiden EV). => du hast als Bedingung s+t=0 => s=-1 t=1 erfüllen diese Bedingung und dein Hauptvektor ist (1,0,0) dann ist dein EV zu diesem HV die Linearkombination der beiden EV mit s=-1 und t=1 => ergibt als EV (1, -1, 1). Als 2. EV kannst dann einen der beiden EV nehmen (sind ja linear unabhängig). X und J sind damit:
X=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \ -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
und die erfüllen AX=XJ

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Vielen, vielen Dank! Hab es gestern im Skriptum auch noch gefunden uns nachgerechnet.

Aber ich gehe immer so vor wenn hauptvektoren existieren. auch wenn ich ein AWP lösen will z.b. also nehme ich da dann für die formel x=c1e^lamdat*v1+c^1… dann auch die gleichen vektoren, weilche ich in die Transformationsmatrix X einlese?

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Ja. musst bloß aufpassen, wenn du a) komplexe Eigenwerte (Ansatz mit sin, cos) und b) mehrere HV zu einem EV hast.

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Hallo, ich bin auf ein ähnliches Problem gestoßen und wollte nicht extra einen neuen Thread deswegen aufmachen.
Also wenn ich einen Hauptvektor zu mehreren Eigenvektoren habe. dann ist (A-λI)*(h) = Linearkombination aus meinen Eigenvektoren?

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Wenn h Hauptvektor der Stufe n zum Eigenwert λ ist, so ist (A-λI)h Hauptvektor der Stufe (n-1), und (A-λI)^(n-1)h ist bereits Eigenvektor (Eigenvektoren sind nichts anderes als Hauptvektoren der Stufe 1) zu λ.
Insbesondere gibt es den Fall „Hauptvektor zu mehreren Eigenvektoren“ nicht, denn wenn h Hauptvektor ist, so ist der Eigenvektor von dem du ausgegangen bist, bereits bis auf Vielfaches eindeutig (nämlich (A-λI)^(n-1)h ).
Das ist ja der Witz an der Jordanschen Normalform, damit du immer auf diese Blockgestalt

\begin{bmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots \
0 & \lambda & 1 & \cdots \
0 & 0 & \lambda & \cdots \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}

kommst.
Die erste Spalte repräsentiert den Eigenvektor, die zweite den Hauptvektor 2. Stufe, die dritte den der dritten Stufe, usw.

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Im Gegensatz zum vorigen Punkt ist die Wahl der möglichen Hauptvektoren NICHT eindeutig. Sowohl du, als auch Wolfram Alpha habt in dem Fall recht. Der Vektor (0, 1, -2/3) ist bei euch beiden (bis auf Vielfache) eindeutig bestimmt, daran kannst du nichts ändern, da der entsprechende Eigenraum eindimensional ist (bzw. der Jordanblock ist nur die 1 ).

Den Eigenvektor des anderen Eigenraums zu bestimmen ist allerdings nicht eindeutig, da ein beliebiges Dazuaddieren eines Hauptvektors höherer Stufe immer noch einen Eigenvektor der im selben Eigenraum liegt liefert. In deinem Fall kommst du von (3 0 1)^T auf (-3, 3, -3) indem du alles mit -3 multiplizierst und dein s=3 setzt.
Auch die Wahl des Hauptvektors ist egal, solange du durch hinzufügen bereits den ganzen entsprechenden Eigenraum (der in deinem Fall 2. dimensional ist) aufspannst.

Hoffe ich konnte helfen.