Ich verstehe das mit dem Hilfsweg bei Risiduensatz nicht so ganz. Wenn ich jetzt mein Integral habe, dann substituiere ich für meine Variable (nehmen wir z) z=Re^{i\phi}.
Und dann lasse ich \lim\limits_{R \rightarrow \infty}. Also R gegen unendlich laufen lassen.
Und was mache ich dann? Was ist mein Ziel bei diesem Vorgang?
Du möchtest ein Integral entlang der reellen Achse (zB) lösen. Das ist aber nur ein stinknormales „Linienintegral“ - kein Residuensatz. 
Nun kannst du diese „Linie“ mit einer Kurve schließen, das ist dein Hilfsweg. Dann hast du eine geschlossene Kurve → Residuensatz.
Das einzige was du überprüfen musst, ist dass dir dieser Hilfsweg das Ergebnis nicht verfälscht - du musst also schauen, ob er harmlos ist, bzw. manchmal (1. vorbereitung) wo er harmlos ist (zB oberer oder unterer Großkreis).
Das heißt ich muss den Weg nehmen wo 0 rauskommt wenn ich den limes berechne. Und da wo ein Wert rauskommt würde mein Integral verfälscht werden, den nehme ich also nicht
Richtig?
Ich denke schon, ja.
Deswegen kann man auch, wenn Grad(P)+2 <= Grad(Q) ist (beim Integranten R=P/Q) sagen, dass der Hilfsweg auf jeden Fall harmlos ist, da man dann durch 1/x abschätzen kann, was im limes immer 0 ergibt.
Es gibt dann auch tricky-ere Beispiele wo der weg zwar nicht harmlos ist, du aber trotzdem das Integral berechnen kannst (Rechteckskontur, Vorbereitungsstunde gestern)
Dankeschön!!