Lorentzkraft relativitisch: Stromdurchfl. Leiter neutral?

Ich habe eine Frage zur relativistischen Herleitung Lorentzkraft aus der Coloumbkraft:

Bei der Erklärung an Hand eines stromdurchflossenen Drahtes wird immer vorausgesetzt, dass der stromdurchflossene Draht im Laborsystem elektrisch neutral ist, sich also also die (im Laborsystem ruhenden) positiven Ladungen und die (im Laborsystem) bewegten Ladungen genau aufheben.

Danach wird gezeigt, dass in einem Intertialsystem, das sich mit den negativen Elektronen mitbewegt, die positive Ladungsdichte größer wird (wegen der relativitischen Längenkontraktion des Drahtes). Okay.

ABER: Müsste ich nicht eigentlich davon ausgehen, dass der stromlose Draht elektrisch neutral ist, und dann (mit den gleichen Argumenten) weiter schließen, dass der stromdurchflossene Draht im Laborsystem negativ geladen ist (weil die bewegten Elektronen wegen Relativistik dichter aneinander stehen)?

Es gibt übrigens auch Bücher, wo dieses Problem umgangen wird, indem der Stromfluss in einem Elektrolyten beschrieben wird, wo sich auch im Laborsystem positive und negative Ladungsträger entgegengesetzt bewegen, und so eine symetrische Situation herrscht.