Zu Bsp 3:
hab bei der angabe ein paar unklarheiten (hat die vielleicht schon wer erfragt?)
ist rechts Vakuum?
und ist v1=v2
also kann ich annehmen, dass das rechte feld komplett leer ist also n=0 oder sollte ich es allgemein rechnen also 2 systeme die dann im gleichgewicht sind
sonst müssts ja einfach gehen Eges=E1+E2 als nebenbedingung und P1V1=N1kb*T1 einzusetzen mit Vges>V1
Ich poste mal meine Ergebnisse zur Legendre Transformation, da sie mir ein bisschen komisch vorkommen
f(x,y,z) = \frac{z^{5/3}}{y^{2/3}}exp(\frac{2x}{3z}) \qquad t = \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{z^{5/3}}{y^{2/3}}\frac{2}{3z}exp(\frac{2x}{3z})
nach umformen und einsetzen in die Legendre Transformation
f(t,y,z) = f(x(t),y,z) - x(t)t =\quad … \quad = \frac{3}{2}zt\cdot \left( 1-ln(\frac{y^{2/3}}{z^{2/3}}\frac{3}{2}\cdot t\right)
wenn ich das Ergebnis auf E(S,V,N) = \frac{cN^{5/3}}{V^{2/3}}exp(\frac{2S}{3Nk_B} - \frac{5}{3}) anwende, erhalte ich folgenden Ausdruck
E(T,V,N) = \frac{3}{2}Nk_BT\cdot \left( 1 - ln((\frac{V}{N})^{\frac{2}{3}}\frac{3}{2}Nk_BT\cdot \frac{1}{c}) - \frac{5}{3} \right)
Das komische ist, dass ich \frac{3}{2}Nk_BT schon für den ersten Teil der Legendre Transformation E(T(S),V,N) herausbekomme, und der zweite Teil S(T)\cdot T mein Ergebnis in diese komische Form bringt.
Was habt ihr da herausbekommen?
@ Markus ich denke da nichts weiter angeben ist kann man davon ausgehen das rechts Vakuum ist
@juergonaut: bei der legendre-transformation kommt mir dasselbe heraus, aber ich denke das stimmt schon so, weil gefragt ist ja nur E(S(T))=(3/2)NkT. d.h.: die vollständig legendre-transformierte ist der lange ausdruck mit dem ln und trägt die volle Information der ursprünglich angegebenen funktion, ist aber keine funktion für die innere energie E sondern für die freie energie/helmholtz-energie: http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture_4/node4.html
die innere energie ist glaub ich weiter gegeben durch E(S(T)).
@thesa danke für den link. aber kann mir vl. jemand erklären wie im evakuierten Volumen eine Temperatur herrschen kann die gleich T1 ist. Ich dachte T ist sowas wie die gemittelte energie der teilchen. wenn keine teilchen vorhanden sind müsste doch daraus T=0 folgen. oder ist das blödsinn?
Wenn sich zwei Gase vermischen, dann nehmen die langsameren Teilchen des kälteren Gases nen Teil der Energie von den schnelleren Teilchen auf und bremsen sie somit ab. Wenn aber rechts ein Vakuum is, gibts keine Teilchen die die Energie aufnehmen könnten, also bleibt die Temperatur gleich. So stell ich mir das zumindest vor.
Btw. kann bitte jemand das 4. posten? Und nochmal die Frage: dürfen wir an der Tafel die Mitschrift verwenden?
bei mir auch hast du schon eine erklärung dafür
v2 ist ja v1/2
P1v1=p2v2
macht P2=2p1
nach:
http://upload.wikimedia.org/math/b/d/e/bde47496aeb015bf2b3163da4ae54805.png
machts T1/T2=(p1/2p1)^((1/3-1)/1/3))
macht T2 = 75 grad
wo ist da der fehler?
ja deine SELBST gerechneten Lösungen darfst du an die Tafel mitnehmen
beim 4. sehe ich auch gerade an obwohl es so einfach ausschaut 
ich komme auf t2=T1*2^1/3
und mit dE=3/2Nkb*(T2-T1) auf gerade mal auf 935J…
also hier meine bsp 1,2 und 4. beim 4. ist mit V nach dem auswerten des Integrals das V gemeint das man sich aus der Angabe mit der allg. Gasgl. ausrechnen kann.
wär super wenn noch jemand eine einfache erklärung fürs dritte bsp posten könnte
@michii: zum 4.): das Integral hab ich genau wie du, bei mir kommt raus 1384,5J also sollt das passen. Mir ist nur aufgefallen, dass bei dir die Einheit der Konstante C nicht stimmen kann.
C=p_1\sqrt[3]{V_1} \Rightarrow \frac{kg}{ms^2}*\sqrt[3]{m^3}=\frac{kg}{s^2}.
Bei mir kommt für C auch ein anderer Wert raus (29218,1 kg/s 2). Ich glaube du hast bei der Berechnung von C vergessen die 3. Wurzel aus V zu ziehen.
danke
bsp 3.
thermisch isoliert → dQ=0
ideales Gas → Wechselwirking nur mit wand und Teilchen über stöße
starre wand → es wird keine Arbeit geleistet dW=0
→ T1=T2 im gleichgewicht
Hat wer das 2.? Bei mir kommt was ähnliches raus wie Juergonaut
E(T,V,N) = \frac{3}{2}Nk_BT\cdot \left( 1 - ln((\frac{V}{N})^{\frac{2}{3}}\frac{3}{2}k_BT\cdot \frac{1}{c})+ \frac{5}{3} \right)
schaut aber irgendwie komisch aus…
ich krieg beim zweier dasselbe wie Juergonaut, aber schmecken tut mir das ergebnis garnicht… Sollt die Legendre Transformierte nicht nachher quasi die freie Energie sein und viel einfacher ausschaun?
http://de.wikipedia.org/wiki/Freie_Energie
Aber vielelicht ist das auch nur Wunschdenken 
Bei Bsp. 3 ist T1=T2.
- ist die temperatur eine intensive variable, ändert sich also nicht automatisch, wenn ich das volumen ändere
und 2. stellt euch mal vor das gas in V1 besteht nur aus einem teilchen. dieses teilchen gibt fliegt mit konstanter energie durch V1. öffne ich die klappe fliegt es halt in V1 und V2 herum, aber nicht mit weniger energie, weil es zur vergrößerung des volumens keine arbeit geleistet hat. und wenn das für ein teilchen so ist, warum sollte es dann für N teilchen anders sein.
Die Legendretransformation berechnet
nicht direkt E( T, V, N) sondern die freie Energie=Helmholtz-Energie.
(Skriptum Seite 12, wenn wir das auch noch nicht gemacht haben).
Die ist definiert als F := E - TS.
Der komplizierte Term wird nach Rücksubstitution von T durch T(S) im ln des Ausdrucks einfach zu TS (diese Substitution darfst man nur im ln(…) machen, die anderen T’s braucht man noch )
Wegen den multiplikativen Konstanten:
- exp(-5/3) hab ich ins c gezogen, wird dann halt ein c1
- c steckt im T drinnen und im inversen Ausdruck für S - und kürzen sich weg
Man kann das auch Nachprüfen wenn man E(S,V,N) nach T ableitet und sich E durch T ausdrückt. Dann gibts keine Konstanten mehr. Stecken im T bzw im S.
Damit bleibt über F(T,V,N) = 3/2 N k T - TS
und der Vergleich mit der obigen Gleichung ergibt dann E(T,V,N) = 3/2 N k T.
Damit wärs glaub ich bewiesen.
Danke!