im übrigen ist es weniger um das substituieren selbst gegangen, sondern, dass man sieht wie man substituieren muss, damit dasselbe dasteht… (das klingt falsch, aber ich meins irgendwie so…)
Ich möchte mal kurz Beispiel 2 ansprechen.
a) Die Matrix H ist hermitesch und unitär, soweit so gut. Bezüglich Eigenwerte: Wenn H komplex und unitär ist, liegen die Eigenwerte auf dem Einheitskreis. Wie beweise ich das? Und wie siehts mit der Eigenbasis aus?
b) Für die Eigenwerte bekomme ich \lambda_{1,2} = -1,\quad\lambda_{3,4} = 1. Für die Eigenvektoren bekomme ich \mathbf{v}_1 = \alpha\begin{pmatrix}0\i\1\0\end{pmatrix} und \mathbf{v}_2 = \alpha\begin{pmatrix}0\-i\1\0\end{pmatrix}. Ich bin mir wegen dem doppelten Vorkommen der Eigenwerte aber unsicher, ob das alles ist. WolframAlpha sagt, es gibt noch mehr. Ich hab aber keine Ahnung, wie man auf diese Eigenvektoren kommt: http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors+{{1%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+-i%2C+0}%2C+{0%2Ci%2C0%2C+0}%2C+{0%2C0%2C0%2C-1}}
@ a) $H^{\dagger} H = Id.$
Für jeden Eigenvektor $x$ mit Norm 1 gilt $1 = ||x||^2 = (x,x) = (H^{\dagger} H x, x) = (H x, H x)$. Damit solltest du den Rest schaffen.
b) Wolfram ist ja auch richtig. Setz die beiden anderen Vektoren ein, du bekommst ja sofort raus, dass sie Eigenvektoren zu 1 bzw -1 sind.
Wir hatten auch ne Weile das gleiche Problem. Für \lambda = -1 kriegst du nach reduced row echelon das hier:
[ \left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 &0 \
0 & 1 & -i&0 \
0 & 0 & 0&0 \
0&0&0&0 \end{array} \right)]
da siehst du halt das du x_3 und x_4 frei wählen kannst. Wenn wir dann x_3 = s und x_4 = t setzen, kriegen wir:
s[ \left( \begin{array}{c}
0 \
i \
1 \
0 \end{array} \right)] +t [ \left( \begin{array}{c}
0 \
0 \
0 \
1 \end{array} \right)]
mach das gleiche dann bei \lambda=1 und du kriegst die anderen Eigenvektoren.
Zumindest war der kleine Schritt da unser Fehler 
Hab jetzt mal alles zusammengeschrieben!
Anbei meine Lösungen!
Lg
QU_ 1.pdf (1.3 MB)
Hehe, wie üblich. Wenn einer seine Lösung postet verstummen alle
Vielen Dank, Max_gain!
He, ne Frage zu der hochgeladenen Datei mit allen Beispielen: Woher taucht plötzlich am Anfang von Seite zwei, nach dem Integral prdr dieser Zweier (vor dem folgenden Integral) auf? Ich werd grad net so recht klug draus… Jede Hilfe wär nett 
Vielen Dank! Das freut mich sehr!
Es geht hier um ein Ringintegral, es muss also geschlossen sein! Darum musst du einmal hin und dann wieder zurück zum Ausgangspunkt !
Okay, danke
Dachte mir schon, dass es da dran liegt.
Und allgemeines Danke fürs Hochladen natürlich !
Hier die Musterlösung.
loes_1.pdf (155 KB)