Starte mal mit einer Frage!
Ich hab nicht ganz verstanden wie wir beim ersten Beispiel die Integrationsgrenzen setzen sollen.
Bei 1a von Ro bis Unendlich?
Bei 1b dann von 0 bis unendlich?
Kann mir da jmd helfen?
Herzlichen Dank schon mal.
Die Integration geht imo im ersten Fall vom Umkehrpunkt bis unendlich und im zweiten von Null bis zum Umkehrpunkt.
Mir stellt sich aber die Frage, ob wir eine extra Fallunterschiedung machen müssen, ob r0 an einer Stelle ist, wo das Potential pos/neg ist. Denn bei z.B. V0>0 hätten wir im ersten Fall den Umkehrpunkt bei r0, im anderen Fall aber bei einem r ungleich r0
Hab ne allgemeine Frage zu den Umkehrpunkten…
Nimmt man den Radius als Koordinate, so ergibt sich bei nem anziehenden Potential doch bei 0 ein „harter“ Umkehrpunkt, da der Impuls springt. Das Teilchen fliegt auf den (kartesischen) Nullpunkt (-pr) zu und in die andere Richtung weiter → der Radius wächst wieder (pr) Also harte Reflektion. Im 2. Beispiel der letzten Übung haben wir allerdings beim Radialimpuls einen Maslovindex von 2 (2 weiche Umkehrpunkte) verwendet. Hab das damals als weiche Reflektion auf beiden Seiten des Nullpunkts gesehen, doch der Radius wird ja nicht negativ, also gibt es nur einen Umkehrpunkt E=V und den anderen bei 0…
klassischer Umkehrpunkt ist bei r_u, dh. dort wo p=0 ist
Potentialreichweite ist r_0
r_u \ne r_0
1a) Integration vom Umkehrpunkt r_u bis \infty, wobei das Integral vom „Ende des Potentials“ r_0 bis \infty nix liefert; Maslov = 1 x soft, dh. 1
1b) Integration vom Ursprung bis \infty, wobei wieder das Integral vom „Ende des Potentials“ r_0 bis \infty nix liefert -somit folgt eine Integration von 0 bis meiner Meinung nach r_0 und nicht nur bis r_u, da das Teilchen immer E>0 und somit immer E>V haben muss, wodurch es die ganze Strecke über von r=0 bis zum Potentialende r=r0 das Potential V spürt und nicht nur bis r_U; Maslov = 1 x hard, dh. 2
Integrale hab ich Mathematica übergeben - naja schön ist das nicht was da rauskommt…wer weiß ob das überhaupt stimmt? TU11_1.pdf (99.3 KB)
Hab einen copy/paste-Fehler beim Bsp. 1b in den Assumptions - im Anhang die Korrektur; somit fällt auch das i das der Lösung von\delta heraus, was mir nur mal so vom Hinsehen um einiges sympathischer ist. TU11_1.pdf (92 KB)
Hmmm also mit den Umkehrpunkten bin ich noch nicht ganz zufrieden…
Bei a) haben wir für kleine r_0^2 (so in der Größenordnung von 0.3) eine Unstetigkeit im Potential. p wird also nicht unbedingt 0, sondern hat ev. auch eine Unstetigkeit bzw. basiert die weiche Reflektion ja auf einer Linearisierung des Potentials, wo eben die Phasenkorrektur von \frac{\pi}{4} rauskommt. Hier wäre die Ableitung des Potentials aber \infty. Weiche RB wären zwar sinnvoll, da die WF in den klassisch verbotenen Bereich eindringen kann, also p nicht springen sollte, aber mit dem Skriptum passt das nicht so recht zusammen.
Wenn wir bei b) ein größeres r_0^2 haben, z.B. 2, dann hat das Potential einen abstoßenden Bereich und wenn die Energie klein genug ist ergibt sich da ein weiterer Umkehrpunkt oder? E muss zwar größer 0 sein für Streuung, aber doch nicht zwangsläufig größer als das Potential. Die Winkelverteilung konzentriert sich dann in den meisten Fällen zwar auf Reflektion, aber das ist ja nicht unphysikalisch. Vor allem da wir S-Streuung haben liegt eine kleine Energie nahe. Konnte diesmal nicht ins Plenum, also vielleicht hab ich ja was verpasst und das ist ein Blödsinn.
Grundsätzlich verstehe ich nicht, warum sich der qualitative Verlauf des Potentials durch einsetzen von Zahlenwerten (für r0 = 0.3) ändern sollte, oder versteh ich dich da nicht richtig? Das Potential ist stetig von 0 bis unendlich, nur am Punkt r0 nicht stetig diffbar (aber stetig). Gleiches gilt für den Verlauf vom Impuls (siehe Anhang), der auch im Punkt r0 zwar nicht glatt (aber stetig) ist. Dass wir das Potential linearisieren ist mir bisher auch verborgen geblieben?
Dieser Knick im Impulsverlauf ist schon etwas verdächtig, da aber die Kurven alle stetig sind, habe ich ihn ignoriert.
Ich habe das ganze Zeug mal geplottet:
Energie- u. Impulsverläufe
Impulsverläufe (Phasenraumplot), wobei man schön jeweils den harten und den weichen Umkehrpunkt sieht und beide Male die Knicke bei r0
Angemalt die Fläche im Phasenraum die wir ausintegrieren sollen
Mal sehen vielleicht hilft das - zumindest als Diskussionsgrundlage, vermute ich verstehe dich nicht so ganz!? Kurven.pdf (119 KB)
ah, ja, genau das war mein Denkfehler… #-o Hab beim Plotten nen Zahlenwert eingesetzt, aber bei der Nullstelle nicht daran gedacht, dass der ja r_0^2 ist… doppel #-o
Die Linearisierung des Potentials steckt im Maslovindex drinnen. Das kommt von der exakten Lösung der SG an den klassischen Wendepunkten, die man mittels Linearisierung berechnet. Die Lösung sind die Airy-Funktionen und der Vergleich mit der WKB Lösung liefert dann den Phasenfaktor.
p(inf) = p(r>r_0)
Das bedeutet, dass man nur von r_u bis r_0 integrieren muss. \int_{r_u}^{r_1}p(\infty) = p(\infty) (r_0-r_1).
Ein Teil fällt mit dem + \frac{r_0}{\hbar} p(\infty) ausserhalb des Integrals weg und übrig bleibt beim mir ein + \frac{r_u}{\hbar} p(\infty).
hab mal die Ergebnisse geplottet… grün \delta_{0a}, schwarz \delta_{0b}, rot \sigma_{0a}, blau \sigma_{0b}. Hab da alle Konstanten weggelassen, V0 gleich 10 gesetzt und die Energie von 0.1 bis 9.9 gehen lassen.
Hmmm is das realistisch??? versuch mal ne Interpretation.
Der Wirkungsquerschnitt wird bei kleinen Energien sehr groß… das Teilchen wird ziemlich wahrscheinlich gestreut, ein leichter Schubser wirkt auf ein Leichtgewicht stärker als auf einen Güterzug. Für große Energien wird die Streuwahrscheinlichkeit immer geringer, das Teilchen spürt das Potential nicht mehr wirklich… Die Nullstelle… irgendwas mit Resonanz?
Naja, keine Ahnung, ob das stimmt… Vor allem da schon bei Energien von der Größe des Potentials der Wirkungsquerschnitt sehr klein wird… Andererseits sind die Absolutwerte aufgrund der Fehlenden Konstanten (k^2=E^2, \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}=\sqrt{E}…) nicht so ernst zu nehmen…
Hallo Silosar
zu kr bzw p\infty,
ich denke du berücksichtigst k von ru bis ro doppelt.
hab meine anmerkungen bei dir dazu geschrieben (siehe anhang)
und meine version auch beigelegt (leider schiach geschrieben)
krschreibt man als \int_0^r {\frac{p(\infty)}{\hbar} das zerlegt man in ein Integral bis r_0 und von r_0 bis \infty. das Integral von p(r) zerlegt man in ein Integral von r_u bis r_0 mit dem potentailabhängigen Impuls und ein Integral von r_0 bis \infty über den freien Impuls, dass sich dann wegkürzt…
War nicht im Plenum, aber ich denk WF und Energie EW der Einteilchenlösung ausrechnen, normieren. Dann die Teilchenenergien addieren und die Produktwellenfunktion in einen antisymmetrischen und einen symmetrischen Anteil aufteilen.
Ansonsten das gleiche wie bei den letzten Beispielen, Zustände mit zugehörigen Energien raussuchen und durch wirken von S bzw. Sz nachschauen, ob das EF sind oder erst Linearkombinationen gebildet werden müssen