So, die neuen Aufgaben sind da. Spontan ist mir aufgefallen, dass das Beispiel 5 von heuer, das Beispiel 6 von letztem Jahr (Auch Übung 2) und es dort eine ausgiebige Musterlösung vom Toschi gibt. Der Thread wo die Musterlsg alle wohnen:
https://forum.fstph.at/t/vorgluehen-fuers-ws-2010/1206/1
lg
Liz
uebung02.pdf (137 KB)
Leider nicht 
Gut Bsp 5a) ist ungefähr gleich 6a), aber dass auch nur da es einfach die Entwicklung der rel. E-p Beziehung bis zur 2.Ordnung in p^2 ist…
Bei Bsp 6) sind mir für den transmitierten Anteil „Fehler“ aufgefallen (od. hab ich irgendeine Konvention übersehen):
hallo zusammen,
ich hoffe der link funktioniert, aber hier eine Rechnung zum Klein-Paradoxon: http://books.google.com/books?id=8ecFrbdLm6cC&pg=PA204&lpg=PA204&dq=klein+paradoxon&source=bl&ots=ZPzB-NKWPI&sig=MmjVhdS3i_ExiLjuAabd-y2v61o&hl=en&ei=6BDPTIDzEsOQswbx47WnAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CEsQ6AEwAw#v=onepage&q=klein%20paradoxon&f=false (google books: „Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II) By Franz Schwabl“)
Zum 5. hab ich sowas:
H_1 ist wieder die rel. korrektur
H_1=- \frac{1}{8} \frac{p^4}{m^3c^2} = -\frac{1}{2};\frac{p^2}{2m};\frac{\frac{p^2}{2m}}{mc^2}=-\frac{1}{2} E_{kin};\frac{E_{kin}}{E_{ruhe}}
H = H_0 + H_1 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 - \frac{1}{8} \frac{p^4}{m^3c^2}
H= V(x) + E_{kin}(1-\frac{1}{2} \frac{E_{kin}}{E_{ruhe}})
→ wenn die kin. Energie in die Größenordnung der Ruheenergie kommt, sollta man rel. Effekte berücksichtigen?
zu b) ist das nur E_1 = \langle n \mid H_1 \mid n \rangle und in H_1 für p^4 \prop (a^\dagger -a)^4 einsetzen?
in der neuen version des übungszettels wurde das vorzeichen vom k-vektor im ansatz von bsp. 6 korrigiert …
mfg
außerdem war in der ersten Version des Übungszettels die Darstellung des Impulsoperators über Erzeuger und Vernichter falsch (zumindest das \alpha)
Hat zufällig wer ne Ahnung wie ich die Erwartungswerte:
<Y|L^4|Y> bzw <Y|Lz^2|Y> bei Bsp 4c
und
En ~ <n|(a*-a)^4|n> bei Bsp 5b
ausrechne ?
Kann ich hier wirklich die Potenzen einfach in Produkte aufspalten und hintereinander auf mein Psi wirken lassen ?
hat jemand ein argument für 6c zur hand?
ich denke 2x L^2 anwenden liefert dir L^4
so haben wirs in quanten 1-übung mal gemacht, aufpassen auf [a,a+]=1, falls du was umschreibst, aber ich denke, da fällt jeder term weg ausser der (a a+)^2=N^2
zu graphene&klein-paradox gibts hier ein eigenes paper: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0604323
habs aber noch nicht geschafft, die nötige info da rauszulesen
@Lelouch
Ich GLAUBE:
Kleinsches Paradoxon ist, dass für einen Potentialwall höher als V > mc^2 dieser völlig durchlässig wird (transparent)
(Grund: bei so hohen Energien Wechselwirkungen zwischen den Fermionen nicht mehr vernachlässigbar) aus Skript von Prof
Graphene als ideales zweidimensionales System ist mit seinen speziellen strukturellen und elektronischen Eigenschaften eines der aktuellsten Themen der modernen Festkörperphysik. Insbesondere die Elektronen verhalten sich wie masselose Teilchen entlang einer linearen Band-Dispersion. von Uni Homepage
=> da Elektronen quasi masselos muss Potential nicht sehr groß sein => transparent
thx @paperbag
[Edit] Berechnung von <P^4> bzw (a*-a)^4 wird auch in der Bsp-Sammlung von Grau für den harm Oszi durchgemacht:
http://img168.imageshack.us/img168/1781/babababa.jpg
4er sollten a und b ja einfach nur sein:
a)
L^2=\hbar^2 l(l+1)
da das l in allen bra-kets gleich ist
und
L_z=\hbar l ; \hbar (l-1) ; \hbar (l-2)
b)
\langle L^2 \rangle = \hbar^2 l(l+1)
\langle L_z \rangle = \frac{\hbar}{9}(9l-6)
am einfachsten das b nicht mit den brakets auswerten sondern die eigenwerte*wahrscheinlichkeiten addieren (weniger zu schreiben)
Hier mal alles was ich bisher hab:
Bsp 4ab: http://img263.imageshack.us/img263/8426/4abpe.jpg
Bsp 4c: http://img513.imageshack.us/img513/6985/52910523.jpg
Bsp 5ab: http://img411.imageshack.us/img411/9370/5aby.jpg
Bsp 5b: http://img185.imageshack.us/img185/9971/32211230.jpg
Bsp 6a: http://img8.imageshack.us/img8/8689/78356545.jpg
Bsp 6ab: http://img832.imageshack.us/img832/7950/50091185.jpg
Für Korrekturen bzw Bestätigung wäre ich sehr dankbar 
Also ich bekomme für \Delta L_z nicht 0 heraus. Ich habe für das \langle L_z^2 \rangle einfach 2mal den Operator auf die Wellenfunktion angesetzt (nacheinander). Für das L^2 bekomme ich delta=0 heraus (zu erwarten wenn es nur diesen zustand gibt), aber für Delta L_z bekomme ich:
\langle L_z^2 \rangle=\frac{\hbar^2}{9}(l^2+6l)
\langle L_z \rangle^2=\frac{\hbar^2}{81}(9l-6)^2
Dadurch \Delta L_z nicht gleich 0
mhm, da hast du wohl recht, danke!
3a schaut bei mir sehr ähnlich aus…mags jetzt ned genau vergleichen aber ich hab eigentlich den selben weg gewählt…
@Lelouch
Ich erhalte: <L_z^2>=\hbar^2 \ \frac{9l^2-12l+8}{9}, indem ich einfach mit den EW & Wahrschl. dafür gerechnet habe:
<L_z^2>\propto l^2\ P_l + (l-1)^2\ P_{l-1} + (l-2)^2\ P_{l-2}
genau das gleiche hab ich im grunde auch stehen, wieder mit den wahrscheinlichkeiten 4/9 4/9 1/9 und dann ausmultipliziert. kann nur beim ausmultiplizieren irgendwas durcheinander gekommen sein.
Edit:
ok fehler gefunden. ein vorzeichen falsch und einmal falsch ausmultipliziert.
Mein Lösungsvorschlag für 5c:
Gesucht sind ja nur die Nummern k, der Zustände, welche in
\psi_0^{(1)}\propto \sum_{k\ne0}\frac{<k|P^4|0>}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}
auftreten.
Dazu P^4 ausrechnen:
P^2=(a^\dagger)^2 + a^2 -2N-1\
\Rightarrow P^4=((a^\dagger)^2 + a^2 -2N-1)*((a^\dagger)^2 + a^2 -2N-1)\
\Rightarrow (a^\dagger)^4 + a^4 + (a^\dagger)^2 a^2 + a^2(a^\dagger)^2 + 1 + 4N^2 -2(a^\dagger)^2 - 2a^2 - (a^\dagger)^2 2N - a^2 2N - 2N(a^\dagger)^2 - 2Na^2 - 4N
Man sieht, dass sehr viele Terme wegfallen, da a|0> =0, auch N|0>=0, weiters kann man auch a links anwenden, wird dann zu a^H, übrig bleiben:
<k|(a^\dagger)^4 -2(a^\dagger)^2 - 2N(a^\dagger)^2|0>
Daraus folgt, dass nur k=4,2 vorkommt.
hast du bei 5b vieleicht das i^4=-1 vergessen? bekomme ne positive korrektur raus weil sich das -1 mit dem -1 von der korrektur aufhebt.
und das c^{-2} im E fehlt dir glaub ich auch.
i^4 = 1, also müsste doch neg Korrektur stimmen
stimmt, das c^-2 hab ich vergessn, thx
6c)
Im Graphen haben die elektronen m=0 (warum muss ich auch noch genauer nachlesen).
dadurch werden die k werte zu:
k=E
k’=E-V
diese Werte & m=0 in die Formel für den Reflexionskoeffizienten einsetzen und es ergibt sich R=0
zu 5c)
bekomme ebenfalls 2 und 4 heraus.
