Also ich hab jetzt mal nach dieser Methode 1 aus dem „Grau“ versucht 1g) zu rechnen.
Ich bekomme für die gemeinsame Matrix heraus:
\lambda_{1} =1+i
\lambda_{2} =-1
\lambda_{3} =1
Würde bedeuten dass alle Kombinationen möglich sind. Oder wie geht der Blödsinn?
Edit: Zum nachrechnen mit dem Wolfram online Rechner: {{i/3,1/3,(3i-1)/3},{-1/3,(3+i)/3,-i/3},{(1-3i)/3,-i/3,i/3}}
Edit2: OK doch nicht alle. Alle bis auf a=-1 und p=1
und wie lauten deine eigenvektoren?
Edit: Danke für die matrix - hab den vorfaktor vergessen! Jetzt komme ich auch auf Eigenwerte! 
Hab die Wolfram Formel eigentlich geposted damit ichs nicht extra schreiben muss (werden dort angezeigt).
v_{1}=\begin{pmatrix}
i\
-1\
1
\end{pmatrix}
v_{2}=\begin{pmatrix}
-i\
0\
1
\end{pmatrix}
v_{2}=\begin{pmatrix}
i\
2\
1
\end{pmatrix}
kannte den wolfram rechner noch nicht. Danke für den Tip. Damit geht alles um einige schnelelr als mit dem TI
So, ich hab das ganze jetzt auch nochmal mit Methode 2 gerechnet und bekomme tatsächlich die gleichen Eigenvektoren (bis auf Vielfache natürlich) heraus. Allerdings muss ich dazu für den 2ten Vektor zu 0 die 1er Komponente gleich 0 setzen (gibt in der Matrix auch keinen Eintrag für die Komponente und die kann mir den Vektor wild verdrehen weil es keine beziehung für die Richtung gibt). Hieru sei gesagt dass diese Vektoren die Koordinaten bezüglich der Eigenbasis aus A sind und nicht bezüglich der kanonischen Basis. Daher man muss erst die Komponenten dem jeweiligen Vektor zuweisen, und für den Vektor dann die Definition mittels der kanonischen Basis einsetzen. Dann bekommt man die Gleichen Koordinaten bezüglich der kanonischen Basis, bis auf beliebige Vielfache halt.
Edit:
OK ich bin blind. Natürlich bekomm ich durch meine Parameterdarstellung für den 1er Vektor die Koordinate 1 heraus, weil ein Vektor ja 1:1 übernommen wird, und der 2te Vektor der Parameterdarstellung besitzt dann keine 1er Komponente mehr.
Bekomme nun auf beide Varianten das Gleiche heraus, also scheint zu stimmen.
heute hat er uns in der VO erklärt, dass einfach das kreuzprodukt nehmen nciht funktioniert.
Wenn man das macht ist das um ienen Faktor -i falsch bei mir.
Ein Kollege meinte komplex kunjugieren damit es funktioneirt was kreuzer bestätigte. ich komme damit aber nicht hin. was komplex konjugieren?
wie ist das kreuzprodukt im dualraum definiert? warum ist das genau um einen Faktor -i falsch?
hat da irgendjemand eine idee.
Wegen dem Kreuzprodukt weiß ich grad auch nicht, aber du kannst es ja alternativ mim Gram Schmidt machen.
Nimmst einfach die 2 Vektoren zu den 2 nicht entarteten Eigenwerten, und einen beliebigen von den entarteten. Habs mim (0,1,0) Vektor überprüft und hab den richtigen Vektor raus bekommen.
ich habe es ja auch schon anders gelöst. ich verstehe nur noch nciht warum es nicht geht
In der VO wurde das so erklärt:
Da das innere Produkt hermitesch ist, muss eben ein Vektor komplex konjugiert werden.
Falls wir die paarw. orthonormalen EV x,\ y haben, erhalten wir den 3. aus:
z_i=\bar{\epsilon_{i,j,k}x_j y_k}.
Denn nun sind x,\ y,\ z auch paarw. orthonormal:
<z,x>=\bar{z}x=\epsilon_{i,j,k}x_j y_k x_i.
Nur so können die Indizes i,j vertauschen und man erhält Orthogonalität.