Die ganze Übung bezieht sich auf Bra-Ket Notation, also hilfreiche Hinweise dazu sind willkommen.
Ich habe mich gerade mal kurz am 1a versucht und wenn man die Produkte so berechnet wie ich denke dann müsste A ungefähr so ausschauen:
\begin{pmatrix}
& & i\
& 1 & \
-i& &
\end{pmatrix}
Der Rest der Einträge sollte wegen der kanonischen Basis 0 werden. Einwände?
tut2009_4.pdf (27.8 KB)
ich komm auf das selbe ergebnis und zwar so:
ich pack den operator zwischen einen bra und einen ket einheits vektor und krieg damit einen eintrag der matrix A_{ij}=<e_i|A|e_j>. mit den wirkungen in der angabe und <e_i|e_j>=\delta_{ij} komm ich dann auf:
A_{13}=<e_1|A|e_3>=<e_1|(A|e_3)=<e_1|(i|e_1>)=<e_1|e_1>*i=i usw.
Genau so hab ich das auch gemacht.
Punkt b:
A=|e_{1}>i<e_{3}| + |e_{2}><e_{2}| + |e_{3}>(-i)<e_{1}|
für hermitesch:
komplex konjugieren und die e’s miteinander vertauschen, dann steht wieder die gleiche Matrix dort → hermitesch.
1c)
\lambda _{1,2}=1
\lambda _{3}=-1
für Lambda=1
v^{i}=t\begin{pmatrix}
i\
0\
1
\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}
0\
1\
0
\end{pmatrix}
für Lambda = -1
v^{i}=t\begin{pmatrix}
-i\
0\
1
\end{pmatrix}
soweit so gut. Jetzt aber ne Frage weil ich mir nicht ganz sicher bin: Wenn ich das Skalarprodukt bilde muss ich einen der Vektoren immer konjugieren stimmts? Dann sind diese Vektoren nämlich alle orthogonal, sonst nicht.
Stimmt! Das Skalarprodukt ist nämlich als \left \langle v_i\mid v_i \right \rangle definiert!
1c) & 1d)
Spektraldarstellung mit Vollständigkeit:
aus
\sum_{i}^{ }A|a_{i}>=\sum_{i}^{ }a_{i}|a_{i}>
folgt
A=\sum_{i}^{ }a_{i}|a_{i}><a_{i}|
wobei auf der linken seite, rechts vom A, die Einheitsmatrix steht.
Nachrechnen liefert richtiges Ergebniss.
ich bin mir nicht sicher, aber nimmst du wenn du das machst damit nicht eine euklidische basis an?
Die e’s sind auch die kanonischen Basisvektoren. Die komplexe Eigenbasis drücken wir uns ja erst aus.
1e)
P schaut bei mir so aus:
P=\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & -i & i\
-i & 1& -1\
-i & 1& 1
\end{pmatrix}
Mit den Eigenwerten
\lambda =1
\lambda =1\pm i\sqrt{2}
Laut Angabe stimmt zumindest der Wert 1, aber die beiden Anderen wundern mich etwas.
Ich komm auf die selbe darstellung für P. zu zeigen das es ein projektor ist ist in matrix schreibweise recht leicht da du nur zeigen musst das P^2=P ist und das P hermitesch ist. nur wie das ganze in braket schreibweise gehen soll verstehe ich nicht… irgendwelche ideen?
die eigenwerte von P sind nicht ganz richtig. 1 stimmt und die anderen beiden sind beide 0. für solche sachen ist recht praktisch: http://www.wolframalpha.com und dann mit eigenvectors {{1/3,-i/3,i/3},{i/3,1/3,-1/3},{-i/3,-1/3,1/3}} die eigen werte und vektoren bestimmen
Bra-Ket Darstellung weiß ich auch gerade noch nicht, das überleg ich mir morgen mal. Aber gut das wegen den Eigenwerten zu wissen, hab wohl wieder vor lauter Vorzeichen die Übersicht verloren.
ist falsch (kleiner VZ-Fehler bei P_{2,1}, da dieses P nicht selbstadjungiert → keine Projektion
Und die EW (außer 1) stimmen auch nicht, da sie ja reell sein müssten…
korrekt: P=\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & -i & i\
i & 1& -1\
-i & 1& 1
\end{pmatrix}
Meine EW lauten dann {\lambda_i}={0,0,1}
Der Eigenzustand (Eigenvektor) zu EW 1 ist einfach |b>, da P ja die Projektion auf den durch |b> aufgespannten 1-D UR ist P |b>\Leftrightarrow|b><b|b>\Leftrightarrow|b>
P^2 in bra-ket ist einfach P^2=b><b| |b><b| \Leftrightarrow |b><b|=P
korrekt: > P=\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & -i & i\
i & 1& -1\
-i & 1& 1
\end{pmatrix}
bei deinem element P_{32} sollt eigentlich ein minus stehen, ohne dem ist P nicht selbst adjungiert also:
P=\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & -i & i\
i & 1& -1\
-i & -1& 1
\end{pmatrix}
eigenwerte sind dann \lambda_1=1 \lambda_{1,2}=0
Jupp, danke (Tippfehler) 
für 1g) ist Bsp. 1.24 im [Grau] sehr hilfreich…
Sorry aber was ist Grau?
K, das ist eine sehr gute Aufgabensammlung mit Lösungen - verlinkt auf der QTI-Seite von einem gewissen Herrn Dr. Grau:
http://www.dietrich-grau.at/download.html
2a) Für Hamilton-Op in bra-ket Notation, habe ich einfach H=\sum_{n \in \mathbb{N}}|n>E_n<n|
2b)Zeitentwicklung von |\psi_0>=\alpha(|2> + 2i|4>):
|\psi(t)>\Leftrightarrow U(t-t_0)|\psi_0>\Leftrightarrow \alpha\big(e^{-\frac{i}{\hbar}E_2(t-t_0)}|2> + 2ie^{-\frac{i}{\hbar}E_4(t-t_0)}|4>\big)
Was ist eigentlich gemeint mit „Welcher Zustand ist Eigenzustand zum Eigenwert 1“?
Eigenzustand ist hier dasselbe wie Eigenvektor, d.h. gesucht ist einfach der EV von EW 1
Bei 2c) ist der Paritätsoperator P für das unendl. Kastenpotential gefragt, jetzt ist hier ja, |0> gerade, und es wechseln sich gerade & ungerade Eigenfunktionen ab.
Für P habe ich daher angesetzt P=\sum_{n \in \mathbb{N}}|n>(-1)^n<n|
d.h. |0> wird 1, |1> -1, …, zugeordnet.
P ist kein Projektor, es gilt P=P^\dagger,\ P^2=\mathbb{1}
[P,H]=0, da P.H=\sum_{n \in \mathbb{N}}|n>(-1)^n E_n<n|\ \Rightarrow P.H=(P.H)^\dagger, da weiters P=P^\dagger,\ H=H^\dagger folgt [P,H]=0
Laut Bsp 2.4 aus [Grau] könnte das passen, bin mir aber nicht sicher, da wenn ich eine zusammengesetzte gerade/ungerade Funktion aus EF nehme, für diese nicht mehr 1/-1 als Parität herauskommt - wegen falscher Skalierung… - passt ja doch 
…Hi! also das 2er bsp habe ich auch so - zwar nicht so elegant, aber das sollte so passen 
…ich scheiter jetzt noch am 1g 
kann mir wer helfen!
guten morgen!
Habe eine Frage zu 1g
Mein Eigenvektor zum eigenwert 1 von P müsste ja auch eigenvektor von A sein. Mein eigenvektor ist (1, -1, i).
Hat das sont noch jemand?
Wenn ich jetzt A auf diesen Vektor wirken lasse so bekomme ich hier kein schlüssiges ergenis. nur mit A komplex konjugiert funktioniert das.
Muss A komplex konjugiert werden? 
Bei P ( also wenn ich p auf den eigenvektor von A zum eigenwert -1 wirken lasse) plappt es aber ohne komplex konjugieren.