Die ganze Übung bezieht sich auf Bra-Ket Notation, also hilfreiche Hinweise dazu sind willkommen.
Ich habe mich gerade mal kurz am 1a versucht und wenn man die Produkte so berechnet wie ich denke dann müsste A ungefähr so ausschauen:
ich komm auf das selbe ergebnis und zwar so:
ich pack den operator zwischen einen bra und einen ket einheits vektor und krieg damit einen eintrag der matrix A_{ij}=<e_i|A|e_j>. mit den wirkungen in der angabe und <e_i|e_j>=\delta_{ij} komm ich dann auf:
A_{13}=<e_1|A|e_3>=<e_1|(A|e_3)=<e_1|(i|e_1>)=<e_1|e_1>*i=i usw.
soweit so gut. Jetzt aber ne Frage weil ich mir nicht ganz sicher bin: Wenn ich das Skalarprodukt bilde muss ich einen der Vektoren immer konjugieren stimmts? Dann sind diese Vektoren nämlich alle orthogonal, sonst nicht.
Ich komm auf die selbe darstellung für P. zu zeigen das es ein projektor ist ist in matrix schreibweise recht leicht da du nur zeigen musst das P^2=P ist und das P hermitesch ist. nur wie das ganze in braket schreibweise gehen soll verstehe ich nicht… irgendwelche ideen?
die eigenwerte von P sind nicht ganz richtig. 1 stimmt und die anderen beiden sind beide 0. für solche sachen ist recht praktisch: http://www.wolframalpha.com und dann mit eigenvectors {{1/3,-i/3,i/3},{i/3,1/3,-1/3},{-i/3,-1/3,1/3}} die eigen werte und vektoren bestimmen
Bra-Ket Darstellung weiß ich auch gerade noch nicht, das überleg ich mir morgen mal. Aber gut das wegen den Eigenwerten zu wissen, hab wohl wieder vor lauter Vorzeichen die Übersicht verloren.
ist falsch (kleiner VZ-Fehler bei P_{2,1}, da dieses P nicht selbstadjungiert → keine Projektion
Und die EW (außer 1) stimmen auch nicht, da sie ja reell sein müssten…
Meine EW lauten dann {\lambda_i}={0,0,1}
Der Eigenzustand (Eigenvektor) zu EW 1 ist einfach |b>, da P ja die Projektion auf den durch |b> aufgespannten 1-D UR ist P |b>\Leftrightarrow|b><b|b>\Leftrightarrow|b>
P^2 in bra-ket ist einfach P^2=b><b| |b><b| \Leftrightarrow |b><b|=P
bei deinem element P_{32} sollt eigentlich ein minus stehen, ohne dem ist P nicht selbst adjungiert also:
P=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -i & i\ i & 1& -1\ -i & -1& 1 \end{pmatrix}
Eigenzustand ist hier dasselbe wie Eigenvektor, d.h. gesucht ist einfach der EV von EW 1
Bei 2c) ist der Paritätsoperator P für das unendl. Kastenpotential gefragt, jetzt ist hier ja, |0> gerade, und es wechseln sich gerade & ungerade Eigenfunktionen ab.
Für P habe ich daher angesetzt P=\sum_{n \in \mathbb{N}}|n>(-1)^n<n|
d.h. |0> wird 1, |1> -1, …, zugeordnet.
P ist kein Projektor, es gilt P=P^\dagger,\ P^2=\mathbb{1}
[P,H]=0, da P.H=\sum_{n \in \mathbb{N}}|n>(-1)^n E_n<n|\ \Rightarrow P.H=(P.H)^\dagger, da weiters P=P^\dagger,\ H=H^\dagger folgt [P,H]=0
Laut Bsp 2.4 aus [Grau] könnte das passen, bin mir aber nicht sicher, da wenn ich eine zusammengesetzte gerade/ungerade Funktion aus EF nehme, für diese nicht mehr 1/-1 als Parität herauskommt - wegen falscher Skalierung… - passt ja doch
…Hi! also das 2er bsp habe ich auch so - zwar nicht so elegant, aber das sollte so passen …ich scheiter jetzt noch am 1g kann mir wer helfen!
guten morgen!