Ich fang mal klein an… mit der Angabe
6_050609.pdf (36.3 KB)
Hier gibt’s wieder mal alle Beispiele durchgerechnet:
Für das Erste hat mir folgender Link ziemlich geholfen:
http://www-public.rz.uni-duesseldorf.de/~everss/Theo-IV-SS03/Theo4-11.pdf
Hab zwar eine ganze Weile gebraucht zu verstehen warum die immer vom Minimum bis zum nächsten Teilchen integrieren, aber es macht tatsächlich Sinn.
Statistik_T18-T20.pdf (1.11 MB)
paul rulezzz! =D> natürlich auch großes lob an shooter für die grandiose vorarbeit!
(mal wieder) vielen dank paul!
hab drei (unwichtige) fragen zur letzten aufgabe:
- müsste es in der zustandssumme nicht 1/(2(N!)) heissen, weil jedes molekül aus zwei ununterscheidbaren atomen besteht?
- darf man auch bei endlichem volumen die atomabstände von 0 bis unendlich integrieren? (dh kann man immer davon ausgehn dass exp(-x²) schnell genug abfällt? ein „teilvolumen des R3“ könnte ja auch klein sein)
- wenn ich einen abstandsVEKTOR einführe und uber den R3 integriere, dann bekomme ich ja noch ein 4Pi von der winkelintegration, wenn ich nur einen skalaren abstand einführe nicht… wo liegt der denkfehler?
Zu 2:
Naja, wir können nicht anders rechnen, da wir keine Gefäßgeometrie gegeben haben. Man könnte jetzt natürlich irgendeine allgemeine Geometrie annehmen, aber ich glaube nicht, dass das Beispiel so gedacht ist. 
Zu 1 und 3:
Da bin ich mir auch nicht sicher. Wenn man annimmt, das die Moleküle ununterscheidbar sind, dann reicht es den Abstand als Skalar zu behandeln und den Faktor N! einzuführen.
Wenn sie unterscheidbar sind, dann können sich die Moleküle durch die geometrische Anordnung zueinander unterscheiden wodurch ich dann einen Abstandsvektor annehmen muss und der Faktor N! nicht mehr gültig ist.
Ich werd das mit dem Tutor in der Übung diskutieren.
@hinnerk (?) sehe punkte 1 - 3 genauso wie du:
1., 2. ausgezeichnete Fragen – mehr dazu im Tutorium
3. aus meiner sicht klarer rechenfehler:
(a) In Zeile 4 fehlt das ^N über die Ortsraumintegrale
(b) es wird nach deinem Rchengang die Schwerpunktskoordinate über den \mathbb{R}^3 integriert, daher fehlt die Funktionaldeterminante in der Relativkoordinate
(c) die d\vec{q} notation ist IMHO missverständlich, besser d^3q.
ahja und T20, Punkte (ii) und (iii) würd ich mir noch mal anschaun 
@hinnerk ?
3.a
Ich hab mir einfach das Produktzeichen gespart. Für mich ist eh klar, dass ich mehrere Teilchen meine wenn ich i als Index nehme und drunter ist das hoch N wieder da.
b
Danke für den Hinweis, da war ich mir wie aus meinem vorigen Post ersichtlich eh nicht ganz sicher, ob man da so einfach über einen Skalar integrieren darf. Das ändert das Ergebnis aber glücklicherweise nur um einen Faktor 4Pi hoch N.
c
Warum findest du das missverständlich? Für mich ist klarer, dass ich über Ortsvektoren integriere wenn ich auch wirklich Vektoren hinschreibe. Während die andere Schreibweise für mich eher eine Integration über 3 Variablen ist.
Ist aber eher Geschmackssache würd ich sagen.
T20:
Ich hab’s mir jetzt nochmal angesehen aber bis auf das verloren gegangene 4Pi hoch N, das mir dort nicht rein spielt, hab ich keinen Fehler gefunden.
Meinst du vielleicht, dass man normalerweise als zusätzlichen Freiheitsgrad bei einem 2-atomigen Gas auch noch die Rotation des Moleküls mit einbezieht? Unser Hamilton ist aber ohne Rotation angegeben.
Ja, sicher. Ich find halt die Verwechslungsgefahr mit einer „vektorwertigen“ Integration wie etwa d^2\vec f oder d^3\sigma^\mu ist gegeben, wobei, das geb’ ich schon zu, in der Statistischen Physik eher weniger. Außerdem sieht man sofort die Ordnung der Differentialform.
zu T20 ii)… ein zweiatomiges mplekül müsste 6 freiheitsgrade haben… 3 translation, 2 rotation und einen der schwingung, der aber doppelt zählt, also f=7… wenn ich aber in i) die funktionaldeterminante der relativkoordinate einsetze (also [q_{ia}^2*sin\theta dq_{a}d\theta d\phi]) bekomme ich für f=9… muss ich hier das [q_{ia}^2] weglassen?
zu T20 III)
wieso kann man da nach \beta ableiten, das kommt doch auch in den andere Termen vor… meiner meinung nach müsste man zum Ausrechen des Integrals die Ableitung nach A durchführen also: <|p_{ia}-p_{ib}|^2>_k = -\frac{A\beta}{\pi}^{\frac{N}{2}}\beta^{\frac{N}{2}}\frac{\partial}{\partial A}(\frac{\pi}{A\beta}^{\frac{N}{2}}) ???
Bei mir führt das dann auf \frac{N\beta^{\frac{N}{2}}}{2A} was aber ein etwas seltsames Ergebnis ist…
schwerpunktkoordinaten mochte ich noch nie. kann mir jemand sagen wie ich da mathematisch aufs integral in schwerpunktkoord. komme? oder habt ihr das alle einfach hingeschrieben?
du ersetzt einfach die zwei ortskoordinaten der atome durch schwerpunkt- und relativkoordinaten. der schwerpunkt kommt im hamilton nicht vor, also integration über 1 von -unendlich bis + unendlich, was V^N ergibt.
dann musst du noch über die relativkoordinaten integrieren… nur der betrag kommt im hamilton vor, also brauchts um den R^3 abzudecken die funktionaldeterminante und integration über 2 winkel und den betrag von 0 bis unendlich… 2 winkel ergeben dann (4pi)^N
relativkoordinate: r=a-b
schwerpunkt: s=(a+b)/2
aber dann hab ich doch bei der integration über die abstandskoord. noch die funktionaldeterminante und dann kann ich das integral nicht mehr lösen? 
wieso nicht? du bekommst dann nur \int_{0}^{\inf}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}q^2 sin\theta \exp (- \beta A q^2) d\theta d\phi dq …
also eine integration in kugelkoordinaten…
jo genau. dann bin ich wohl einfach zu blöd das integral zu lösen. #-o