Ich habe Beispiel 1a/b mal schnell ins Mathematica geklopft. Was sagt ihr dazu? Mit einer Interpretation tu ich mir schon sehr schwer hier…
TU_Lsg_6_1.pdf (87.7 KB)
Meine vorhin gepostete Lösung ist falsch - zu schnell getippt, zu wenig nachgedacht - KroneckerDelta muss natürlich durch den epsilontensor ersetzt werden (=Signature).
TU_Lsg_6_1.pdf (88 KB)
Bei den Tensoren 1.Stufe fehlt vorne noch das 1/2, womit sich dann ergibt:
T^{(1)}_i = \hbar S_i
Ich habs mit der Hand gerechnet und komm aufs Gleiche. Sieht gut aus.
Morgen Vormittag werd ich meine Rechnung online stellen, für alle, die’s interessiert!
was das eigentlich alles sein soll, was wir da berechnen weiß ich zwar nicht, aber hier mal mein 1a.
greetings
1a.pdf (276 KB)
Wer weiß das schon…
So, hier kommt meine Lösung von Bsp. 6.1. Hoffe es stimmt…
QT2UE6-1.zip (2.62 MB)
Die Ergebnisse kann ich soweit bestätigen. Da die S und damit T_{jl}ja bereits in der Drehimpulsbasis sind, ij also eigentlich schon q_1q_2 sind, kommen mir die Ergebnisse auch vernünftig vor. Was mich auch etwas irritiert ist, dass die T^{(2)}_q doch eigentlich Skalare sind oder? T_0 is ein Skalar, T^{(1)}_q ein Vektor, aber gegeben ist dann einfach eine Matrix, also ein Operator? Oder sind die Einträge da als Operatoren zu sehen?
@blub: Also soweit ich das verstanden habe wollen wir in der Gesamtdrehimpulsbasis rechnen, da da die Drehinvarianz zum tragen kommt (bzw. ganz allgemein in den Eigenräumen einer drehinvarianten Observable). Die Drehimpulsbasis deswegen, da die Rotationen ja aus durch die Komponenten des Gesamtdrehimpulses aufgebaut sind (e^{-i\alpha J_z}…) Wir wollen unseren Operatortensor (der die Operatoren für die Quantenzahlen j_1, j_2, m_1, m_2 enthält) also so ausdrücken, dass wir mit j,m,j_1,j_2 als Quantenzahlen arbeiten können. Darum auch beim WE Theorem die CG Koeffizienten. Nachdem wir 2 mal Spin 1 haben kann der Gesamtspin (J) die Werte 0,1 und 2 annehmen. Deswegen müssen wir das Produkt aus 3 Hilberträumen mit den Dimensionen 0 (m=0 \rightarrow Operatorskalar), 1 (m=-1,0,1 ; m_1 =-1,0,1 ; m_2=0,±1,0 \rightarrow Operatorvektor bzw. Spinoren) und 2 (m=-2,…2 =m_1 + m_2 darum 2 Indizes) Diese Räume zusammen bilden den Raum des ursprünglichen Tensoroperators (bestehend aus den Eigenräumen zu den Eigenwerten des Operators) Sie sind sozusagen die Eigenräume zu den einzelnen möglichen Werten von m. Diese Räume und damit die in ihnen definierten Tensoren sind drehinvariant, also irreduzibel bezüglich Rotationen (genauer gesagt heißt irreduzibel, dass der gesamte Raum aus einem beliebigen Vektor aus dem Raum durch Rotationen erhalten werden kann. Deshalb ändert sich durch Rotation nix am Raum und damit nicht an den Eigenvektoren und damit nicht an den Eigenwerten). Aus dem Grund zerlegen wir den Tensor in seine irreduziblen Komponenten.
Vergleichbar ist der Tensorkram mit normalen Tensoren, z.B. Vektoren. Wenn wir einen Vektorraum Vder Dimension n haben, in dem die Vektoren unter Rotationen linear in Vektoren übergehen, also V in V übergeht, so sind die Vektoren dieses Vektorraumes per Definition Tensoren (wie in Math Meth, da haben wir die Tensoren ja auch über ihr Drehverhalten definiert…) Man kann also sagen ein irreduzibler Raum bezüglich einer Transformation bildet sich durch diese Transformation in sich selber ab. Spinoren sind also z.B. auch Tensoren 1.Stufe, wenn man die dreht kommen wieder Spinoren raus und es geht kein Element des Raumes verloren.
Sollte das alles kompletter Blödsinn sein hoffe ich, dass mich jemand korrigiert, so wirklich durchblicken tu ich auch noch nicht…
Greez!
Zu Bsp. 2
Also: ein Tensoroperator 0 Stufe ist ja ein Skalar, um dessen Drehinvarianz zu zeigen muss ich nur den Kommutator
[T,J] bilden , der dann null sein muss.
kann das richtig sein???
das wäre ja ein Einzeiler
danke silosar, langsam komm ich der sache näher
Hier die Quanten 2 Lösungen…
mfg
uebung6-070508_Published.pdf (1.84 MB)
Thx für onlinestellen =D> !
Du hast das minus verloren bei 1b letze zeile + endergebnis!
Seh ich jetzt grad nicht, den Fehler…
das Element (…)_{32} sollte negativ sein.
Ich bin auch ein wenig skeptisch ob es bei 2.a) genügt wenn man zeigt, dass [J_j,J_iV_i]=0 gilt. Eigentlich müsste man es auch für alle [(J_j)^n,J_iV_i] mit beliebig großem n zeigen. Nur das ist mir bis jetzt nicht gelungen.
@ megas: Wenn man den Kommutator mit J^2 bildet zerlegt sich der ja in zwei Kommutatoren. Hat man J^3, so kann man das als J^2J schreiben und wieder zerlegen. Wenn man das nun fortsetzt, so kommt man bei beliebigen Potenzen immer wieder auf Summen von Kommutatoren mit J und damit ist das das einzige, was zu zeigen ist…
Aja. Ich hab falsch gedacht.
Ganz so trivial kams mir nicht vor weil etwas in dieser Form entsteht:
[J_i^n,J_jV_j]=(J_i)^{n-1}[J_i,J_jV_j]+[(J_i)^{n-1},J_jV_j]J_i
Dadurch bilden sich Terme der Form:
(J_i)^{a}J_i,J_jV_j^b mit a+b<n-1
Die müssen dann natürlich Null sein.