Hey Leute,
ist es wirklich möglich daß, das 1.Bsp. ein 3-Zeiler ist, oder muß man hier noch mehr zeigen als die Beziehung zwischen Sp (T) und den Skalarprodukt zwischen den gegebenen Vecs?
[Mit der vollständigen-Eins-Einschiebung „verwandelt“ man die Spur des Dyadischen Produktes T:=|w><v| in das Skalare Produkt <v|w>]
Kann dies jemand bestätigen, bitte?
Lg,
orion
also ich hab genau das bsp bei den grau bspen gefunden und da ist es ziemlich genaus das, ja
das 1er beispiel kann ich bestätigen - habe ich auch so!
aber mal zu 3c)
habe für |e1>, |e2>, |e3> die kanonische Basis angenommen. Ich krieg da als Eigenwerte a und -a zum A-Operator und b, -b zum B-Operator. Berechne ich den Kern bekomme ich eine zweifache Entartung (geom. Vielfachheit) zu -a und b sowie einfache Entartung für a und -b. Hat das noch wer so???
Meine Eingenvektoren sind im Prinzip wieder eine kanonische Basis - kann ja nicht ganz sein denn dann müßte ich ja bei Punkt d) nix mehr rechnen. 
ich hab das 3. bis halb c gerechnet (bin gerade bei den eigenwerten von des orthonormalsystems, das aus den EV von A und B gebildet wird). für die EW von A krieg ich a (n entartet) und -a (2 fach) und für B -ib (2 fach) und b.
wie setzt du das orthonormalsystem an? so, wie bei den graubspen (C = A + iB), oder ausgehend von dem was heute in der vo vorkam (müsste doch auch gehen, oder)
was habt ihr bei 3b)?
im Skriptum steht:
physikalische Observable <=> linearer Operator
führt man [A,B] aus (mit den Matrizen in der {e}-Darstellung), kommt 0 heraus, daher hat man es mit kompatiblen Variablen zu tun, die also gleichzeitig scharf gemessen werden können
soweit zumindest meine Lösung dazu 
Ich hab es ebenfalls so. K.A obs stimmt, aber es ist schon komisch.
ja es ist wirklich seltsam. habs aber nochmal nachgerechnet - verrechnet hab ich mich zumindest nicht wies scheint.
als orthonormalsystem kann man ja einfach drei linear unabhängige eigenvektoren nehmen (im notfall halt noch normieren). die eigenvektoren zu den einfach entarteten eigenwerten hab ich mir nicht ausgerechnet aber die ev zu den zwei zweifach
entarteten eigenwerten sind bei mir (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) und (0,1,i). jetzt könnt ich hergehen und die ersten drei vektoren als neue basis verwenden. wie gesagt, dann erübrigt sich aber wieder d).
Phyr3n: hast du die selben vier vektoren?
@ barbados
für die eigenwerte hab ich dieselben ergebnisse.
eigenwert nicht entartet → eigenvektor eindeutig.
für die basis <g1| , <g2| , <g3| wähle ich:
( 1 0 0 ) , ( 0 1 i ) , ( 0 1 -i )
die zwei letzteren sind noch zu normieren,
dann habe ich eine gemeinsame orthonormale „eigenvektorbasis“ von A und B.
die wahl der vektoren ist nicht eindeutig → komplexe normierung läßt die phase unbesimmt,
folgende vektoren sind also für <g1| äuivelent zu meiner wahl :
( i 0 0 ) , ( -i 0 0 ) , ( -1 0 0 ) , …
ich hoffe so stimmts,
falls nicht bitte aufdecken!
danke
Danke für das Bestätigen des 1ten Bsp.
Beim 2.Bsp hätte ich das meiste gezeigt, allerdings weiß ich immer noch nicht welcher Beweis aus dem Plenum man hier verwenden sollte;
habt ihr da eine Idee von welchem Beweis man hier spricht?
Für den Erwartungswert des Impulses bekommt man 0, da die Stromdichte eines gebundenen Zustand reell ist und deswegen nicht imaginäre Anteile besitzen darf. Ist die ausreichend?
Hat wer das Bsp. auch mit Hilfe von Paritätsoperatoren gerechnet? Es würde mich sehr interessieren wie…ich glaube, daß es auch funktionieren müßte.
Beim 3.Bsp habe ich auch sowie die meisten von Euch die gleichen EW und ähnliche EV sowie „luckyluk“.
meine: |g1>=(1 0 0), |g2>=(1/2)^(1/2)(0 i 1), |g3>=(1/2)^(1/2)(0 -i 1) [NORMIEREN nicht vergessen!!! ]
b) man soll zeigen daß die lineare Operatoren sowohl hermitesch als auch kommutierend sind ==> physikalische Observable und gleichzeitig scharf meßbar!
c) EW sind REELL!! (Hermizität) : (a)->1fach; (-a)->2fach; (b)->2fach; (-b)->1fach
f) sie sind selbstverständlich invertierbar (man konnte uns doch nicht die Freude des Kalküls entziehen!!) sofort sichtbar, da die Determinante von A & B nicht Null sind!
Viel Spaß noch!!
zu bsp 2:
zu bsp3:
komme da irgendwie nicht weiter. kann mir mal jmd zumindest ansatzweise sagen wie ich auf eigenwerte und gemeinsame eigenvektoren komme?
Zu BSP 3 findest du etwas ähnliches bei den Aufgaben von Dr. Grau: 1. kapitel bsp. 24
zu Bsp 3:
c,d) ich nehm jetzt für die neue ONB die Vektoren |g1>=(1|0|0), |g2>=1/sqrt(2)(0|-i|1), |g3>=1/sqrt(2)(0|i|1) !?
imo würde 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1 auch gehen, aber dann würd ich keinen Basiswechsel machen…
naja, die neuen Matrizen A und B berechne ich nun so: A=<gj|A|gk> B=<gj|B|gk> oder ?
dann kommt mir für für A= (a 0 0; 0 0 -2a/sqrt(2); 0 -2a/sqrt(2) 0) und für B = (b 0 0; 0 0 -2b/sqrt(2); 0 2b/sqrt(2) 0) raus
Hat das noch wer so ??
Problem ist, dass die Spur von dem neuem A (+a) nicht mehr gleich ist wie vom alten (-a)
hast bei den bravektoren auf die kompkonj transp vergessen?
hallo leute!
tut mir leid aber ich steh beim 1ser aufm schlauch. ich seh zwar, DASS es gleich is aber wie muss ich die vollständige eins einschieben, damit das auch rechnerisch rauskommt.
meine „ich seh das“-vormulierung wär folgendes:
\small Sp[T] = Sp[|v><w|) = \sum_{n}^{}{v_n*w_n} = <w|v>
Jop, war eh klar 
Danke
der trick is, dass du beim skalarprodukt eine 1 reinschiebst, dann steht dir summe <w|ei><ei|v> und beim anderen die spur machst, indemst die summe über alle diagonalelemente machst, also summe <ei|T|ei>=summe <ei|v><w|ei>, und dann sieht ma leicht dass es gleich is (die <|> san ja dann keine wektoren mehr)
danke! die existenz der basisvektoren hat sich vor mir versteckt gehabt
Alle eigenwerte sind reell.
woher kommt mein i bei der spektraldarstellung?
hat sich erübrigt.
man braucht wieder die komplex konjugierten…