(dass das erfüllt ist sieht man durch Dimensionsbetrachtung)
Vergleiche zuerst die Funktion in der Mitte und die auf der rechten Seite. Du setzt versuchsweise erstmal: T=\frac{4n\pi }{\omega }
Und merkst dass die Gleichung die Form bekommt: e^{-i9n\pi } also für alle geraden n erfüllt ist.
Daher kommt noch ein Faktor 2 davor und du bekommst für alle n:
T=\frac{8n\pi }{\omega }
Wie einsetzen für die linke Seite zeigt, ist es auch dort erfüllt.
ok also zum dritten erstmal nur kurz: Es scheint darauf hinaus zu laufen, dass wir ein Wellenpacket konstruieren müssen, welches sich dann durch den Raum bewegt. Daher müssen wir einer Superposition von Wellen zu einem Packet durchführen. Wie ich das genau mache weiß ich auch noch nicht.
Blödsinn was hab ich da gemacht. Die e-Funktionen kürzen sich beim konjugieren ja weg. Ich hab eindeutig zuwenig Schlaf in letzter Zeit…
Richtig komisch ist der Energieerwartungswert, welcher negativ wird, da aufgrund des Minus vorm zweiten Term mehr Fläche im negativen liegt als im positiven.
ich hab gerechnet …
\frac{1}{13}.\int_{0}^{L}\left ( 3<2|-2<3|\right )\hat{H}\left ( 3|2>-2|3>\right )=\frac{1}{13}.\int_{0}^{L}9<2|\hat{H}|2>+4<3|\hat{H}|3>=…
Also kein Minus bei mir
Hab mich mal an der Stromdichte versucht. Für allgemeine t kommt n ziemlich unhandlicher Ausdruck heraus, wo die t Abhängigkeit sich zu einem Sinus zusammenfassen lässt und für t=0 ergibt sich j=0. Kommt mir ziemlich unhandlich vor das Ergebniss, aber es erfüllt zumindest die bedingung, dass j an x=L und x=0 verschwinden muss so dass nichts aus dem Topf hinaus kann. Schon jemand gerechnet?
Also ich habe das so verstanden, dass man explizit nur j(x,t=0) ausrechnen soll/muss…
Dass j nicht von globaler Phase C abhängt lässt sich auch einfach zeigen, indem man sagt \Psi=Ce^{i\phi}\psi. Da in j immer mit komplexkonjugiertem multipliziert hebt sich globale Phase auf…
Dass sich j mit der Zeit ändert ist auch irgendwie klar, da \psi dann auch Imaginäre Anteile aufweist:
\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{13}}[3U(E_2,t)|2> - 2U(E_3,t)|3>]
Es ist offensichtlich (\psi* \partial_x \psi)\ ==\ \partial_x \psi \psi, d.h. in j \sim \psi* \partial_x \ps - \partial_x \psi* \psi bleibt nur der Imaginärteil von \psi* \partial_x \psi übrig, welcher offensichtlich für bestimmte t existiert…
Die Bedinung, dass das Teilchen nicht aus dem Potentialtopf herauslauft ist einfach, dass \psi(0)=\psi(L)=0 erfüllt, da dann auch j verschwindet…
Nunja was ich bekomme, siehe Anhang. Stromdichte von t=0 wie gesagt wird 0. Das Beispiel geht erst auf Seite 2 richtig los, die Erste ist nur eine etwas handlichere Herleitung der Stromdichte als im Skript (halt auch ohne Potential Anteil was es leichter macht).
Edit: ok es sind wieder ein paar Vorfaktoren unter den Tisch gefallen, aber das ändert an der Funktion ja nichts.
Eine kleine Frage, wenn E-\frac{p^2}{2m} \ne 0, gilt doch das E \ne \frac{p^2}{2m} …
diesen Zusammenhang haben wir aber seit Physik3 in unser Gehirn gebrannt.
p = mv, E = m\frac{v^2}{2} → E =\frac{p^2}{2m}
Ist das jetzt eine nicht zum Impuls gehörende Energie?
Wenn ich mir das Potential von 3) mal anschaue in Ortsdarstellung…so ist das eine Gerade, die von links oben nach rechts unten fällt!
In diesem Fall können sich gar keine gebundenen Zustände ergeben!–>daraus schließe ich, dass die Energien kontinuierlich verteilt sind!
Ich verstehe zwar nicht wie man auf die Bedingung von oben kommt, aber, das würde auf den ersten Blick keinen Sinn machen in meinem Potentialbild!(aber vielleicht übersehe ich etwas )
Normieren kann man die Ebene Welle in der Gestallt nicht, darum Überlager ich die Eigenzustände zu einem Wellenpaket!
Also ich habe das Bsp jetzt im Sakurai (revised Ed) in Chap 2, Problem 24 gefunden.
Die gefundene Lsg stimmt zumindest
Das Problem mit der Energie, lässt sich anscheinend einfach wegnormieren, d.h. ist nicht zu beachten, da sie nur an einem Punkt die Dgl nicht erfüllt und das Ergebnis dafür \psi_p’(E)=0\ \Rightarrow\ \psi_p=Const,\ E=\frac{p^2}{2m}
Für die Normierung macht er dann folgendes, was ich noch am nachvollziehen bin:
\delta(E-E’)=<E|E’>=\int dp <E|p><p|E’>=\int dp u_E*(p) u_{E’}(p)=|C|^2\int dp e^{\frac{i}{\hbar F}(E’ - E)p}=|C|^2 2\pi \hbar F \delta(E-E’)\ \Rightarrow\ c=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar F}
Irgendwer eine Idee wie der Schritt von 1) auf 2) folgt
Edit: Kann es sein, dass |E’> die Energiebasis ist? So wie wir gesagt haben dass |x’> die Ortsbasis ist, nämlich jene Funktion, die dem Ortsoperator \hat X den Wert x’ zuordnet, mit |x’> erfüllt die Orthogonalitäts und Vollständigkeitsrelation.
Ich würd mir den 2ten Schritt ja aufgrund der orthonormalität einreden lassen, aber warum die Ableitung von Psi 0 ist bzw Psi konstant ist versteh ich nicht. Bzw was ist das F?
Das |E> ist dann ja nix anderes als das |Psi_n> da die Energien ja die Eigenwerte sind zu denen die orthonormalen Eigenfunktionen bestehen (welche halt eine bestimmte Wahrscheinlichkeit gemessen zu werden besitzen).
Das F soll die konstante Kraft sein, die u_E(p)=\psi_p(E), es kürzt sich im Exponenten einfach der Term \frac{p^3}{6m} heraus…
Die Ableitung von \psi(E) ist ja nur im Pkt E=\frac{p^2}{2m} gleich Null, und deswegen darf man dann nicht mehr die Trennung der Variablen für positve E anwenden?
Das war mein Erklärungsversuch wieso das trotzdem geht (indem man auf offenen Intervallen löst) und im Pkt selbst, aber wird wohl nicht korrekt sein…Irgendwer bessere Erklärung
Geht anscheinend doch, also keine Bedingung an E, ganz einfach die Dgl lösen wie ganz am Anfang
Nun um genau zu sein, sind die \psi_p(E) die wir für 3 ausrechnen mussten, nichts anderes als die Impulsdarstellung der |E>
ok das F ist also die konstante die |\Psi(p)>=F|u_{p}(p)> verbindet, also die Messwahrscheinlichkeit? Weil dann verstehe ich nicht wie in den den Exponenten hinauf kommt, bzw in den Nenner des Exponenten (man könnte die ja theoretisch dann in der DGL in den Exponenten schummeln, aber dann wäre sie im Zähler).
Und wenn ich das dann mit <\Psi |\Psi ‚>=<u_{E}|F^{*}F|u_{E‘}> berechnen würde wäre sie auch als Betragsquadrat drinnen und keine Wurzel
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