ich habe einmal mit 1 begonnen
die ergebnisse:
1a)C=\sqrt{\frac{2}{13L}}
b) Entwicklung nach Basis: \psi(x,t=0) =\frac{1}{\sqrt{13}}(3\mid 2>-2*\mid3>)
Zeitentwicklung: \psi(x,t=0) =\frac{1}{\sqrt{13}}(3e^{-i\hbar\frac{2\pi ^{2}}{mL^{2}}t}\mid 2>+2*e^{-i\hbar\frac{9\pi ^{2}}{2mL^{2}}t}\mid3>)
c) Ja, es gibt ein T, T=4a\frac{mL^{2}}{\hbar\pi}, a \in N
Edit: ja Zeitentwicklung natürlich mit t,
und so wie ichs gerechnet habe auch mit minus bei der entwicklung.
Sorry, aber die Angabe ist noch nicht online…kann die mal wer hochladen!
Vielen Dank andi
qualität ist leider nicht besonders, aber zumindest lesbar
Bei der Entwicklung nach der Basis hast du vermutlich einfach gesagt:
|2>=sin(2k_{1}x)
|3>=sin((k_{1}+k_{2})x)
oder?
ja, genau, müsste doch gehen…
b) Wir bekommen: \psi(x,t=0) =\frac{1}{\sqrt{13}}(3\mid 2>-2*\mid3>)
Ja wenn mans so macht gehört ein Minus vor den 2ten Anteil.
Ich bin nur grad vom Formalismus etwas genervt/verwirrt, weil das könnte bedeuten dass man das Beispiel eigentlich komplett anders rechnen müsste (habs bisher aber auch so gerechnet mit den Ergebnissen wie oben).
Ich glaube er will eher dass wir |\psi >=\sum c_{n}|\psi _{n}> bestimmen und wenn man es so rechnet ist das eigentlich nur die Darstellung im Ortsraum wo man den Sinus halt durch ein Kürzel ersetzt hat. Kann mich auch irren damit, aber mir schwebt das gerade im Kopf rum.
ich schließ mich dem an. wobei ich dafür einfach die lösung des unendlich tiefen potential topfs die sie uns bei der lezten übung schon gegeben haben verwende.
ich glaub nicht das das frage der definition ist (das meinst du mit zitiertem satz glaub ich) sondern sich aus der lösung des potential topfs ergibt, und damit gehört das minus vor den |3> ket
ich glaub du meinst \mid\psi(x,t)> =\frac{1}{\sqrt{13}}(3e^{-i\hbar\frac{2\pi ^{2}}{mL^{2}}t}\mid 2>+2e^{-i\hbar\frac{9\pi ^{2}}{2mL^{2}}t}\mid3>) weil bei dir ist keine zeitentwickling, sondern nur ein zustand zu einem gewissen zeitpunkt.
Ich hab mal 2a versucht.
Was am Ende raus kommt entspricht im Grunde den klassischen Fallgesetzen (was ja auch zu erwarten ist) nur komme ich mit den Operatoren etwas durcheinander. Die Integrationskonstanten müssen als Operatoren gewählt werden oder?
\hat{p}=Ft + \hat{const.}=Ft+\hat{p_{0}}
\hat{x}=\frac{Ft^{2}}{2m}+\hat{v_{0}}t+\hat{x_{0}}
Ich geb mal meine Animation in Mathematica für 1b) rauf.
Zu 2)
a) Das Potential ist bei mir V(\hat{x})=-F \hat{x} + D,\ D=0, da es ja ein homogenes Kraftfeld sein soll.
b) das gleiche wie bei Lelouch
Nur bekomme ich dann bei 3) keine normierbaren Lösungen heraus.
Da H_p=\frac{p^2}{2m} + F\frac{\hbar}{i}\partial_p und
E \psi_p =\frac{p^2}{2m}\psi_p + F\frac{\hbar}{i}\psi_p’\ \Rightarrow\ \frac{d\psi_p}{\psi_p}=\frac{i}{F\hbar}(E-\frac{p^2}{2m})dp\ \Rightarrow\ \psi_p(p)=Ce^{\frac{i}{F\hbar}(Ep - \frac{p^3}{6m})}
Dieses \psi_p ist offensichtlich nicht normierbar 
Uebung_7.nb (17.2 KB)
Kannst du da evtl ne Videofile draus machen, oder wie kann man die Datei abspielen? (hab kein Mathematica)
Was kommt bei den Kommutatoren bei 2b heraus? Habs noch nicht direkt berechnet aber wenn ichs mir durchdenke wirkt das schon etwas seltsam. Die X mit X und P mit P müssten 0 werden, der X mit P müsste aber wieder der Orts/Impuls Kommuntator werden oder?
@Lelouch: So, Videofile im Anhang, ist ein gezipptes SWF-File, da dieses Forum SWF-Anhänge nicht erlaubt…
blaue Kurve ist Re(\psi), rote Kurve Im(\psi) und Beige |\psi|^2
Hmm, zu 2b) also die Konstanten sind ja gerade \hat{x_s},\ \hat{p_s}, d.h.:
\hat{x_h}(t)=\frac{\hat{F} t^2}{2m} + \frac{\hat{p_s}}{m}t + \hat{x_s}\
\hat{p_h}(t)=\hat{F}t + \hat{p_s}
\hat{F}\Leftrightarrow F \mathbb{1} d.h. sie vertauscht mit jedem Operator
d.h.
[\hat{x_h}(t2),\hat{x_h}(t1)]=i\frac{\hbar}{m}(t1-t2) \
[\hat{p_h}(t2),\hat{p_h}(t1)]=0 \
[\hat{x_h}(t2),\hat{p_h}(t1)]=i\hbar
D.h. sieht eigentlich ganz vernünftig aus?
anim.zip (1.6 MB)
Ja grad berechnet, bekomme das gleiche heraus. Die DGL beim dritten und die Lösung sind auch gleich bei mir, aber das normieren und Energien bestimmen klappt nicht ganz.
Fehlt da beim ersten Beispiel nicht der Vorfaktor?
Berechnet haben wir ja \sqrt{\frac{2}{13L}} und nicht \sqrt{\frac{1}{13}}.
Ausserdem finde ich kein passendes T für einen späteren Zeitpunkt da in den Hochzahlen ja verschiedene Brüche dort stehen. In der einen steht ein mal 2, in der 2ten steht ein mal 9/2. Die bekomme ich ja nie gleichzeitig auf -i2Pi
nein. der faktor \sqrt{\frac{2}{L}} ist teil der eigen basis beim unendlich tifen potential topf: <x|u_n>=\sqrt{\frac{2}{L}}sin(k_n x und wird damit im zustand einfach in die eigenfunktionen reingezogen
Achso mit den direkten Eigenfunktionen des Potentialtopfes, ok dann versteh ichs.
Wegen dem T bei c hab ich jetzt nochmal überlegt und bekomm jetzt doch den gleichen Zeitpunkt T heraus. Hab wegen den ganzen Konstanten den Überblick verloren gehabt 
.
Nur weiß jemand wegen dem 3er Beispiel weiter? Die Funktion lässt sich in der Form nämlich nicht normieren.
Noch eine Anmerkung zu der Diffglg in 3)
\frac{d\psi_p}{\psi_p}=\frac{i}{F\hbar}(E-\frac{p^2}{2m})dp
Die Lsg \psi_p(p)=Ce^{\frac{i}{F\hbar}(Ep - \frac{p^3}{6m})}
ist nur gültig, wenn der Faktor E-\frac{p^2}{2m} \ne 0, das ist aber nur erfüllt für E<0
kann mir wer helfen wie ich 1 c angehen kann. ich versuchs jeztt seit fast einer stunde, und krieg keine brauchbaren ausdrücke die die periodizität bestätigen oder wiederlegen
Periodizität, wir wissen, dass die Periode für \frac{i}{h}E_n . t
gleich \Delta T_n = \frac{2\pi u \hbar}{i E_n},\ u \in \mathbb{N} ist. Jetzt haben wir aber 2 verschiedene Periodizitäten für die beiden Eigenfkt.
Die Forderung ist jetzt, dass das Verhältnis der größeren Periode (wenn u=1 gesetzt) zur kleineren ein ganzzahliges Vielfaches ist, dementsprechend müssen die Faktoren gewählt werden:
\frac{\Delta T_2}{\Delta T_3}=\frac{u}{v} \frac{3^2}{2^2} \in \mathbb{N}, wobei u Faktor von \Delta T_2 und v von \Delta T_3.
Damit dieser Ausdruck ganzzahlig nämlich 1 (für kleinste Periode) wird muss nun u=2^2,\ v=3^3 gewählt werden.
Jetzt nur mehr in \Delta T_2 u bzw. v in \Delta T_3 einsetzen und fertig 