8. Tutorium

[Captain_Hero]

@gwd

Also bei 3a) KÖNNEN die Bedingungen in der Angabe einfach nicht erfüllt werden, deshalb lässt mich das sehr an der Angabe für Punkt 8.3b) zweifeln.
Wenn ich bei 8.3b) die Bedingungen G(0,t’<0)=0 und G’(0,t’<0)=0 nehmen würde, könnte ich A einfach als A=H(t’-t) nehmen… glaube aber da is noch was falsch.

Wie bist du denn auf G_0 gekommen? Ich habe einfach die homogene Lösung der Gleichung genommen und komme auf G_0(t,t’)=Ae^{\gamma (t-t’)}2cos(\omega(t-t’))^^

Aber beim Beispiel im Skript schaut das ganz genauso aus, daher hab ich mir gedacht das wird schon so hinkommen …

jo, ich komm eigentlich aufs gleiche, nur hab ich e^{\gamma (t-t)}(c_1e^{w(t-t)}+c_2e^{-w(t-t`)}). kann man die zwei konstanten einfach zu einer zusammenfassen und dann auf den cosinus umschreiben?

und hast du dann für A einen Ausdruck ausgerechnet?

[istio]

@gwd

@istio

Ja nur das Problem ist: Die Randbedingungen werden jetzt nichtmehr erfüllt.


Doch, für t’—>unendlich, e^(-γt’)—>0, deshalb G und G’ —>0
und wieso \delta(x)e^x=\delta(x)e^{-x}=\delta(x) ? und leider habe noch nichts für 3.2, 3.3b ich kann den Go nicht ratten!

wo steht t’ gegen unendlich? Da steht nur >0

auf die anderen fragen kann ich erst zu hause antworten das geht vom handy so schlecht…


So bin schon wieder da:

Also RB is klar weil in der Angabe nicht t’\rightarrow \infty steht.

\delta(x)e^x=\delta(x)e^{-x}=\delta(x) ist doch auch klar weil für x=0 gilt e^x=e^{-x}=1 und für x\neq 0 gilt \delta(x)=0

Noch was unklar?

Ok, bzgl. 8.1, f):

\int_{-\infty}^{\infty}f’(x)\sin xdx

Zuerst schauen wir uns f(x) an, dass gemaß Angabe bisschen mühsam definiert ist.
f(x) ist nichts anderes als f(x)=\sin{|x|} im intervall -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}

Das muss man Ableiten und man kommt auf f’(x)=\frac{x}{|x|}\cos{|x|}

Da f’(x) außerhalb unseres Intervalls 0 ist, kann man das Integral als:

\int_{-\infty}^{\infty}f’(x)\sin xdx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{|x|}\cos{|x|}\sin xdx schreiben.

Mit bisschen überlegen wie das mit dem Betrag ausschaut komtm man auf:

-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos(x)\sin(x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{(x)}\sin (x)dx

Das ist wiederum gleich: \frac{1}{2}(-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\sin(2x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin (2x)dx)

Das jetzt lösen sollte 1 ergeben.

Wenn jemand Fehler findet bitte melden, kann gut sein das ich mich wo vertippt habe.

ok, danke! ich sehe keine Grenze für t’.
t’>0 bedeutet: t’£(0,unedlich).

[gwd]

@Captain_Hero

@gwd

Also bei 3a) KÖNNEN die Bedingungen in der Angabe einfach nicht erfüllt werden, deshalb lässt mich das sehr an der Angabe für Punkt 8.3b) zweifeln.
Wenn ich bei 8.3b) die Bedingungen G(0,t’<0)=0 und G’(0,t’<0)=0 nehmen würde, könnte ich A einfach als A=H(t’-t) nehmen… glaube aber da is noch was falsch.

Wie bist du denn auf G_0 gekommen? Ich habe einfach die homogene Lösung der Gleichung genommen und komme auf G_0(t,t’)=Ae^{\gamma (t-t’)}2cos(\omega(t-t’))^^

Aber beim Beispiel im Skript schaut das ganz genauso aus, daher hab ich mir gedacht das wird schon so hinkommen …

jo, ich komm eigentlich aufs gleiche, nur hab ich e^{\gamma (t-t)}(c_1e^{w(t-t)}+c_2e^{-w(t-t`)}). kann man die zwei konstanten einfach zu einer zusammenfassen und dann auf den cosinus umschreiben?

und hast du dann für A einen Ausdruck ausgerechnet?

Naja in der Form nicht, aber ich hatte bei dem \omega im exponent noch ein i dabei, dadurch konnte ich es mit der euler identität in Cosinus und Sinus umschreiben, die Sinus teile kürzen sich weg… entweder du hast irgendwo ein i verloren, oder ich hab irgendwas gröberes eingebaut…

Und wie gesagt, mit den RB’s aus der Angabe ist es unmöglich ein A anzugeben, das die erfüllt, soweit ich das beurteilen kann, weil:

ich hab dann G(t,t’)=H(t’-t)\frac{1}{\omega_0}sin(\omega_0(t-t’))+Ae^{\gamma (t-t’)}2\cos(\omega(t-t’))

Mit den RB’s aus der Angabe kann man kein geeignetes A finden mmn. Wenn man die RB’s G(0,t’<0)=0 und G’(0,t’<0)=0 nehmen würde wäre A einfach auch A=H(t’-t) da hab ich aber noch meine Zweifel.

[Captain_Hero]

@gwd

@Captain_Hero

@gwd

Also bei 3a) KÖNNEN die Bedingungen in der Angabe einfach nicht erfüllt werden, deshalb lässt mich das sehr an der Angabe für Punkt 8.3b) zweifeln.
Wenn ich bei 8.3b) die Bedingungen G(0,t’<0)=0 und G’(0,t’<0)=0 nehmen würde, könnte ich A einfach als A=H(t’-t) nehmen… glaube aber da is noch was falsch.

Wie bist du denn auf G_0 gekommen? Ich habe einfach die homogene Lösung der Gleichung genommen und komme auf G_0(t,t’)=Ae^{\gamma (t-t’)}2cos(\omega(t-t’))^^

Aber beim Beispiel im Skript schaut das ganz genauso aus, daher hab ich mir gedacht das wird schon so hinkommen …

jo, ich komm eigentlich aufs gleiche, nur hab ich e^{\gamma (t-t)}(c_1e^{w(t-t)}+c_2e^{-w(t-t`)}). kann man die zwei konstanten einfach zu einer zusammenfassen und dann auf den cosinus umschreiben?

und hast du dann für A einen Ausdruck ausgerechnet?

Naja in der Form nicht, aber ich hatte bei dem \omega im exponent noch ein i dabei, dadurch konnte ich es mit der euler identität in Cosinus und Sinus umschreiben, die Sinus teile kürzen sich weg… entweder du hast irgendwo ein i verloren, oder ich hab irgendwas gröberes eingebaut…

Und wie gesagt, mit den RB’s aus der Angabe ist es unmöglich ein A anzugeben, das die erfüllt, soweit ich das beurteilen kann, weil:

ich hab dann G(t,t’)=H(t’-t)\frac{1}{\omega_0}sin(\omega_0(t-t’)+Ae^{\gamma (t-t’)}2cos(\omega_{0}(t-t^{\prim e})))

Mit den RB’s aus der Angabe kann man kein geeignetes A finden mmn. Wenn man die RB’s G(0,t’<0)=0 und G’(0,t’<0)=0 nehmen würde wäre A einfach auch A=H(t’-t) da hab ich aber noch meine Zweifel.

ja ich hab grad gemerkt, dass ich das minus unter der wurzel dann einfach nicht mehr mitgenommen hab, …

danke

dann wirds wohl tatsächlich ein Angabefehler sein, mit der Lösung für A könnt ich leben

[gwd]

@Captain_Hero

ja ich hab grad gemerkt, dass ich das minus unter der wurzel dann einfach nicht mehr mitgenommen hab, …

danke

dann wirds wohl tatsächlich ein Angabefehler sein, mit der Lösung für A könnt ich leben

Naja ich bin sehr skeptisch… eigentlich hätte das doch längst auffallen müssen wenns wirklich lauter Angabefehler sind.
Andererseits… Yolo, der Tutor ist eh nicht so streng

Was meinst du zu MalyshevaLena’s Lösung von 8.2 a)?

Also: \nabla^2G(\vec{x},\vec{x}')=\frac{1}{2\pi}(\frac{2}{r^2}-\frac{2r^2}{r^4})

[Captain_Hero]

@gwd

@Captain_Hero

ja ich hab grad gemerkt, dass ich das minus unter der wurzel dann einfach nicht mehr mitgenommen hab, …

danke

dann wirds wohl tatsächlich ein Angabefehler sein, mit der Lösung für A könnt ich leben

Naja ich bin sehr skeptisch… eigentlich hätte das doch längst auffallen müssen wenns wirklich lauter Angabefehler sind.
Andererseits… Yolo, der Tutor ist eh nicht so streng

Was meinst du zu MalyshevaLena’s Lösung von 8.2 a)?

Also: \nabla^2G(\vec{x},\vec{x}')=\frac{1}{2\pi}(\frac{2}{r^2}-\frac{2r^2}{r^4})

Schaut richtig aus, ich wüsste aber nicht wie ich da argumentieren sollte wenn, ichs vorrechnen müsste …
bin da bei der indexschreibweise noch zu schwach auf der brust

[Aldaron]

Wenn man keinen Bock auf Indexschreibweise hat, kann man das auch mit der üblichen Formel für den Laplace-Operator in Polarkoordinaten berechnen:

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

Aber auch in Index ist das wirklich nicht schwer, im Prinzip eh nur, was wir schon hundert mal in der Übung gerechnet haben. Einfach ausprobieren.

[gwd]

@Aldaron

Wenn man keinen Bock auf Indexschreibweise hat, kann man das auch mit der üblichen Formel für den Laplace-Operator in Polarkoordinaten berechnen:

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

Aber auch in Index ist das wirklich nicht schwer, im Prinzip eh nur, was wir schon hundert mal in der Übung gerechnet haben. Einfach ausprobieren.

Weißt du wie 8.2 b geht?

Ich hab den Laplaceoperator in Polarkoordinaten eingesetzt in das Integral aber bei mir wird es entweder 0 oder divergiert…

[Robo]

also zu 8.3: ich glaube doch das die randbedingungen stimmen - dafür ist ja eben genau das beispiel b gut - hier soll man eine zweite funktion G0 dazu nehmen welche dann mit gewissem vorfaktor addiert zu G1 die randbedingungen erfüllt
zu 8.2b wäre meine Empfehlung der Divergenzsatz im R2 - wird dann ein Integral unabhängig von R, womit auch R=0 definiert ist
is aber auch schon 20 vor 2 und ich bin müde, von daher wer weiß

[gwd]

@Robo

also zu 8.3: ich glaube doch das die randbedingungen stimmen - dafür ist ja eben genau das beispiel b gut - hier soll man eine zweite funktion G0 dazu nehmen welche dann mit gewissem vorfaktor addiert zu G1 die randbedingungen erfüllt
zu 8.2b wäre meine Empfehlung der Divergenzsatz im R2 - wird dann ein Integral unabhängig von R, womit auch R=0 definiert ist
is aber auch schon 20 vor 2 und ich bin müde, von daher wer weiß

Ja aber bei 8.3,a) ist es, sofern unsere Rechnung richtig ist, völlig unmöglich dass G_1 die Randbedingungen erfüllt.

und bei 8.3,b) ist es auch unmöglich, außer unsere Rechnung ist falsch natürlich.

Wenn G(t,t’)=H(t’-t)\frac{1}{\omega_0}sin(\omega_0(t-t’))+Ae^{\gamma (t-t’)}2\cos(\omega(t-t’)) stimmen sollte was sollte dann A sein? Wenn der sinus 0 ist ist der |cosinus| 1 und umgekehrt, es muss aber die Summe 0 werden.
Und A soll ja eigentlich eine Konstante sein, also nicht von t abhängen… Wahrscheinlich ist alles falsch was wir gemacht haben

[Robo]

G1 soll sie auch gar nicht erfüllen, du überprüfst ja nur ob es stimmt - tut es nicht
bei b nimmst du dir dann eine 2. Funktion die die Forderung mit den Randbedingungen erfüllt, auf Seite 149 hier http://tph.tuwien.ac.at/~svozil/publ/2011-m.pdf findest du ein beispiel vom karli bei dem das selbe passiert- die inhomogene lösung erfüllt die randbedingungen nicht und deshalb nimmst du die homogene und gleichst sie an

[Robo]

Habe bei 8.3b eine Funktion der form e^(±lambda * (t-t’))
hast ja auch 2 Randbedingungen für 2 Konstanten, und eine Gleichung 2ter ordnung
und meine inhomogene hätte noch ein - vorne dran - also ein -H(t’-t)

[gwd]

@Robo

Habe bei 8.3b eine Funktion der form e^(±lambda * (t-t’))
hast ja auch 2 Randbedingungen für 2 Konstanten, und eine Gleichung 2ter ordnung
und meine inhomogene hätte noch ein - vorne dran - also ein -H(t’-t)

Ok ich weiß was du meinst.

Was kommt dir genau raus für G_0 bei 8.3 b)?

[Robo]

Natürlich kannst du gemäß der Angabe auch nur eine konstante nehmen und dafür den cos mit einer Phasenverschiebung ansetzen, aber davon rate ich mit jeder faser meines körpers ab - lieber nachträglich zusammenfassen^^
Mein G0 ist 1/(2iw)e^((gamma+iw)(t-t’))-1/(2wi)e^((gamma-iw)(t-t’))
sorry für die grässliche ausgabeform^^

[gwd]

@Robo

Natürlich kannst du gemäß der Angabe auch nur eine konstante nehmen und dafür den cos mit einer Phasenverschiebung ansetzen, aber davon rate ich mit jeder faser meines körpers ab - lieber nachträglich zusammenfassen^^
Mein G0 ist 1/(2iw)e^((gamma+iw)(t-t’))-1/(2wi)e^((gamma-iw)(t-t’))
sorry für die grässliche ausgabeform^^

Ich hab G_0(t,t’)=C(e^{(\gamma+i\omega)(t-t’)}+e^{(\gamma-i\omega)(t-t’)})

schaut ja recht ähnlich aus… nur wie kommst du auf den Faktor \frac{1}{2\omega i}?

[Robo]

durchrechnen - du hast 2 Bedingungen, G(0,t’>0)=0 und das selbe für G’, is n bissl ne rechnerei - als tipp schonmal, du wirst sinus und cosinus wieder in die e^blabla darstellung aufspalten

[gwd]

@Robo

durchrechnen - du hast 2 Bedingungen, G(0,t’>0)=0 und das selbe für G’, is n bissl ne rechnerei - als tipp schonmal, du wirst sinus und cosinus wieder in die e^blabla darstellung aufspalten

Danke!

Wird dann aber sehr mühsam das A zu berechnen :-k


Edit: ich hab das jetzt versucht, ich komm aber bei den Konstanten nur auf die triviale Lösung 0.


Und zu 8.2,b) mit Divergenzsatz wäre das dann \nabla \cdot \Delta ln(r) mit \nabla und \Delta in Polarkoordinaten? naja ich glaub ich lass das bleiben…

[Robo]

kannst sicher irgendwie mit rausheben und winkelfunktionen zamfassen, im kopf und mit augenmaß wärs glaub ich 1/(2w)sin(w(t’-t))
aber das is jz nur meine vemrutung

[gwd]

@Robo

kannst sicher irgendwie mit rausheben und winkelfunktionen zamfassen, im kopf und mit augenmaß wärs glaub ich 1/(2w)sin(w(t’-t))
aber das is jz nur meine vemrutung

Ok ich weiß was du meinst… klingt realistisch, dann wäre das A vielleicht garnicht so kompliziert, ich rechne das morgen noch mal durch aber jetzt gute Nacht