Also was ich beim 2ten Beispiel bis jetzt gemacht habe:
„In die Energie Eigenbasis des harmonischen Osz. entwickeln“ habe ich so verstanden:
|\Psi> = \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} |n>
Also Linearkombination der Basisvektoren, wobei sich die Koeffizientenc_{n} ja durch Projektion auf die Basisvektoren berechnen:
c_{n} = <n|\psi> = <n|e^{\frac{-i\hat{p}x}{h}}|0>
Wenn ich jetzt für den Impulsoperator die Leiteroperatoren einsetze, und mit der Baker Campell Hausdorff Identität die Exponentialfunktion in ein Produkt zerlege, komme ich mit \lambda=\sqrt{\frac{m\omega_0}{2h}}x_0auf
c_{n} = e^{\frac{-\lambda^2}{2}}<n|e^{\lambda \hat{a}^+}e^{-\lambda\hat{a}}|0>
Der Vernichtungsexponentialoperator rechts auf den Nullzustand gibt Null ausser im ersten Term der Reihe, der besteht nämlich aus der Einheitsmatrix und gibt wieder den Nullzustand. Mit Beziehung 3.197 ausm Skript bekomme ich dann:
c_{n} = e^{\frac{-\lambda^2}{2}}<n|e^{\lambda \hat{a}^+}|0> = e^{\frac{-\lambda^2}{2}}<n|\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\lambda^m}{m!}\hat{a}^+^m|0> = (3.197) = e^{\frac{-\lambda^2}{2}}<n|\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\lambda^m}{m!}\sqrt{m!}|m> =
= e^{\frac{-\lambda^2}{2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\lambda^m}{m!}\sqrt{m!}\delta_{n}^{m}
Das Kronecker Delta haut mir wunderbarst die Summe zusammen und ich bekomme
c_{n} = e^{\frac{-\lambda^2}{2}}\frac{\lambda^n}{\sqrt{n!}}
Bei Bsp. b. gehe ich im Prinzip genauso vor, nur daß ich aus der Summe am Ende ein Lamda rausziehen muß, um sie wieder bei Null loslegen lassen zu können:
\hat{a}|\psi> =…= e^{\frac{-\lambda^2}{2}} \hat{a}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{\sqrt{n!}}|n> = e^{\frac{-\lambda^2}{2}}(0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{\sqrt{n!}}\sqrt{n}|n-1>) = e^{\frac{-\lambda^2}{2}}\lambda\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda^{n-1}}{\sqrt{(n-1)!}}|n-1> =
=\lambda\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n> = \lambda|\psi>
Also bekomme ich \alpha = \lambda = \sqrt{\frac{m\omega_0}{2h}}x_0
und damit ja, kohärenter Zustand.
Insgesamt stell ich mal fest daß diese Leiteroperatoren zusammen mit der Dirak Schreibweise schon ne geile Erfindung sind. An den Erwartungswerten für 2.c. zerbreche ich mir allerdings noch den Kopf.
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