Ich habe ein Problem mit dem zweiten Beispiel (mit dem ersten sowieso, ich versteh die Frage nicht, haben wir diese Quantisierung gelernt?):
Wie komme ich auf die Wellenfkt? Ich würde ja normalerweise sagen: Man nehme Formel 4.73 aus Kreuzer (Letzte Formel in Kap 4, falls jemand eine andere Ausgabe hat). ABER: Ein Vergleich mit der Wellenfkt, die in Kap 6 angegeben wird (bei mir Formel 6.73) zeigt: DAS IST NICHT DAS GLEICHE ?! #-o
Vertraue nie einer komplizierteren Formel aus dem Kreuzerskriptum. Die Formel aus der WIkipedia („hydrogen atom“) stimmt, man muss halt noch jedes e^2 durch Ze^2 ersetzen.
Wiki-Formel stimmt / Kreuzer-Formel falsch - kann ich nur bestätigen, habe Sie auch so (nach langer Suche) in einer anderen Quelle gefunden.
Stutzig macht mich aber die Normierung der \psi? Was hab ich da übersehen - da sollte ja wohl 1 rauskommen und das wenns geht auch noch einheitenfrei!? Da aber das a_0 meiner Meinung nach mit Meter behaftet ist, kann das sowieso nix werden - siehe auch (6.74)?
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…Normierung passt schon - hab das r^2 aus dem \text{d}^3x=r^2 \text{d}r \text{d}\Omega vergessen- Welt wieder in Ordnung.
@1: mal so als ganz dumme frage zwischendurch: sind wir überhaupt schon bis zur bohr sommerfeld quantisierung gekommen? ich hab schon mal ewig braucht das wort im skript zu finden… jetzt weiß ich wo das ganze rumkugelt (burgdörfer: 429 ,kreuzer: 206)- was mir aber noch nicht viel weiterhilft
IMO hat’s der Kollege Persson (Btw: Niemand sollte vergessen, eine LVA-Bewertung für diese Übung zu schreiben!) am Mittwoch vorgetragen, bis mindestens vor 11.1.1, an das kann ich mich nicht mehr erinnern.
Das erste Bsp. scheint mir relativ einfach zu lösen.
Die Schrödingerglg. lösen hat mich nicht gfreud.
Ist aber eh gleich wie im allgemeinen Fall bis auf die Randbedingung bei x=0.
Ich gebe mal meinen Tipp für Bsp. 9.2 a/b ab.
Rechenweg in aller Kürze ausgehend von Formel (10.55):
-
Term 1 = Erwartungswert von H des H-Atoms = Summe über beide Elektronen, einmal mit n=1, einmal mit n=2
-
Term 2 = Coulomb-Energie, die (aufgrund der Summe) aus 2 Integralen gebildet wird (die, wie sich zeigt, identisch sind), welche wiederum aus jeweils 2 Integralen bestehen, analog zu (6.76-6.77).
-
Term 3 = Austauschenergie, wobei die beiden Integrale aufgrund der rein reellen S-Orbital-Wellenfunktionen identisch sind
Hat wer Literaturwerte für die Energien, habe auf die Schnelle nix gefunden?
TU_09.nb (34.6 KB)
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Die Grundzustandenergie von Helium gibts zB hier,
der Abstand zum Grundzustand von Orthohelium ist dann da, ausrechnen.
Danke für die links!
Mit dem Wert aus http://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/Tables/heliumtable5.htm von
\tilde{\nu} = 159855.9745, \text{cm}^{-1} folgt die E-Verschiebung zu \Delta E= 19.8196,\text{eV}.
Mit dem He-Grundzustand gemäß (6.81) E_{\text{He}} = -79.015,\text{eV} folgt somit eine Bindungsenergie von
E_{\text{Ortho}}=-59.1954,\text{eV},
der schon recht nahe an meinem Wert von E=-57.8017,\text{eV} dran wäre.
Meine Auswertung der Raumwinkelanteile ist aber doch nochmal genauer vom Forum zu prüfen, da ich nicht so recht weiß, ob ich das richtig interpretiert habe.
also ich war ein wenig kreativ zu bsp 1…
bzw sollt ich lieber sagen ich hab ein wenig phantasiert
bohr-sommerfeld ist ja:
\oint p(x) dx =h(n+\frac{\mu}{4})
wobei das ringintegral von 0-x und wieder zurück geht
\mu=N_{soft}+2,N_{hard}=3
p(x)=\sqrt{2m(E-V)}
mit V(x)=\frac{m \omega}{2}x^2 folgt:
\oint \sqrt{2m(E-\frac{m \omega}{2}x^2)} dx =h(n+\frac{3}{4})
dann munter drauf los rechnen und dumm schaun … ?
lieg ich da ganz falsch?
bzw …
kann ich mein ringintegral eh auf zwei linienintegrale aufteilen? (linalg is schon soooo lange her )
\oint dx’ =\int\limits_{0}^x dx’ , +\int\limits_{x}^0 , dx’
Ich denke, die Lösung vom Kollegen megas von Bsp. 1 ist korrekt, habs auch so gemacht.
Dass beim Vergleich mit der Lösung der Schrödingergleichung das selbe rauskommt, stimmt mich zuversichtlich!
Für alle, dies interessiert, im Anhang gibts Bsp1 mit etwas mehr Zwischenschritten…
QT2UE9-Bsp1.zip (131 KB)
also mein problem mit „eurem“ bsp 1:
ihr setzt arcsin(1)=\frac{\pi}{2} warum nicht arcsin(1)=(2n+\frac{1}{2}),\pi
und dass arcsin(0)=n\pi lasst ihr auch untern tisch fallen…
ich bekäme dann für meine Energie:
e=\hbar \omega\frac{n+\frac{3}{4}}{n+\frac{1}{2}}
dh ich bekomm nur für n=0 das selbe wie durch die schrödingergleichung…
Wenn ich dich recht verstehe, zielt die Anmerkung auf die Periodizität vom sinus ab, wodurch auch der arcsin eine gewisse Periodizität haben sollte?
Ich hab grad in meinem Formelheft nachgeschaut, und dort steht, dass der arcsin(x) auf dem Intervall $-1 \le x \le 1 $ als Umkehrfunktion von sin(x) auf dem Intervall $ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $ definiert ist. Wenn dem nicht so wäre, dann wäre der arcsin ja keine eindeutige Funktion seines Arguments. Und ich kann mir nicht vorstellen, dass diese mathematische Tatsache irgendwas mit einer physikalischen Quantisierung zu tun hat, kanns aber auch nicht beschwören.
Ehrlich gesagt habe ich mir darüber keine Gedanken gemacht, bis du das angemerkt hast…
dann glauben wir mit freuden deinem formelheft
Kann jemand etwas näher erläutern wie die Integration von (6.76) auf (6.77) vor sich geht? Ich blick da nicht so recht durch und kann nur raten. Das ganze sieht nach einem Integral aus E-Dyn aus, kann mich aber nicht daran erinnern es dort gerechnet zu haben!?
Ich versteh’s auch grad überhaupt nicht, aber es funktioniert auf jeden Fall eh nur für identische Wellenfunktionen.
Soweit ich das sehe, müssen die Wellenfunktionen nicht identisch sein, sondern nur rotationssymm. - da die S-Orbitale keine Winkelanteile haben, ist das der Fall und unsere Integrale sollten in gleicher Weise wie im Skript lösbar sein. Traurigerweise kann ich das, wie ich es angewandt habe, nicht ableiten, doch erhärtet sich der Verdacht dass es so stimmen sollte, da ich im Quantenmechanik-Skript der TU Graz die folgenden Zahlenwerte gefunden habe:
E_Coulomb = 11.4 eV
E_Austausch = \pm 1.2 eV (+ bei Singluett, - bei Triplett)
Also für meinen Geschmack reicht das fürs Kreuzerl machen - für die Ableitung wie und warum das Integral so gelöst wird, muss dann in der Übung diskutiert werden.
Woher kommen denn eigentlich eure Coulombwellenfunktionen?