Ein Hamiltonsches System mit n Freiheitsgraden heißt vollständig integrabel durch Quadraturen, falls n unabhängige Bewegungsintegrale F_1, \cdots , F_n existieren, die miteinander in Involution stehen.
Okay, so weit bin ich mal:
Integrale in Involution, wenn die Poissonklammern verschwinden, also \left{ F_i, F_j \right} = 0
die Integrale sind unabhängig, wenn die \nabla F_i linear unabhängig sind. \nabla = \left ( \frac{\partial}{\partial q_i}, \cdots , \frac{\partial}{\partial q_n}, \frac{\partial}{\partial p_i}, \cdots , \frac{\partial}{\partial p_n} \right)
Jetzt muss also der Beweis mit dem Torus her:
Existenz von n Integralen → Phasenraumtrajektorien (was sind Trajektorien?) auf n-dimensionale Mannigfaltig M (was ist eine Mannigfaltigkeit? einfach der „Unterraum“?) im 2n-dimensionalen Raum beschränkt
Beweis für die n-Dimensionalität von M durch symplektische (?) Matrix I
I = \left( \begin{matrix} 0&E\ -E & 0 \end{matrix} \right) mit E = \left( \begin{matrix} 1& & \ & \ddots & \ & & 1 \end{matrix} \right)
mit „Geschwindigkeitsfeldern“ \xi_i = I \cdot \nabla F_i, wobei i = 1,…,n
Wieso impliziert die Existenz der Integrale F_i = H (Hamiltonscher Fluss?), dass die Integrale F_1, … , F_n vollständig auf M liegen bzw. sie alle tangential zu M sind?
„Geschwindigkeitsfelder“ in Involution zueinander, weil die Integrale in Involution?
Gut, wenn ich dann den Satz aus der Topologie nehme, von wegen „n-dimensionale Mannigfaltigkeit M mit n unabhängigen tangentialen Vektorfeldern ist n-dimensionaler Torus“, was weiter? Soll das ein Beweis sein? Soll das jetzt plausibel sein? Hä?!
Und bleibt noch zu klären: Quadraturen? Einfach sagen: „Das sind z.B. die Q_i beim Keplerproblem mittels Hamilton-Jacobi“ ?! Oder gibts ne genauere Erklärung, was das sein soll?
Sodale, wer mir das als erster gscheit erklären kann, bekommt beim Physikerfest im März ein Bier